Considere novamente a situação do item 5 , mas com a seguinte modificação: as peças são produzidas em três máquinas, que são responsáveis por 30 %, 35 % e 35 % da produção, respectivamente. As proporções de peças defeituosas produzidas nessas máquinas são 5 %, 2,5 % e 2 %.
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida na máquina A ? E na máquina B ? E na máquina C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre produção de peças em três máquinas diferentes, cada uma com uma porcentagem específica da produção total e uma taxa de defeitos própria. A gente precisa descobrir a probabilidade de que uma peça defeituosa venha de cada uma dessas máquinas. Isso envolve conceitos de probabilidade condicional e o teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Máquina A produz 30% das peças, com 5% de defeitos.
  • Máquina B produz 35% das peças, com 2,5% de defeitos.
  • Máquina C produz 35% das peças, com 2% de defeitos.
Queremos achar a probabilidade de que uma peça defeituosa veio de cada máquina, ou seja, P(A|Defeito), P(B|Defeito) e P(C|Defeito).

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(Máquina X | Defeito) = P(Defeito | Máquina X) times P(Máquina X)P(Defeito) ááá
Onde X pode ser A, B ou C.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular $ P(Defeito) $, que é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Isso pode ser calculado somando as probabilidades de defeito de cada máquina ponderadas pela sua participação na produção:
P(Defeito)
Substituindo os valores:
P(Defeito) = P(Defeito | A) times P(A) + P(Defeito | B) times P(B) + P(Defeito | C) times P(C)
P(Defeito) = 0,05 times 0,30 + 0,025 times 0,35 + 0,02 times 0,35
P(Defeito) = 0,015 + 0,00875 + 0,007
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é 3,075%.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de a peça defeituosa ter vindo de cada máquina usando o Teorema de Bayes.
Para a Máquina A:
P(A | Defeito) = 0,05 times 0,300,03075 = 0,0150,03075 approx 0,4878 , ou , 48,78%
Para a Máquina B:
P(B | Defeito) = 0,025 times 0,350,03075 = 0,008750,03075 approx 0,2841 , ou , 28,41%
Para a Máquina C:
P(C | Defeito) = 0,02 times 0,350,03075 = 0,0070,03075 approx 0,2275 , ou , 22,75%

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha sido produzida pela Máquina A é aproximadamente 48,78%, pela Máquina B é 28,41% e pela Máquina C é 22,75%.

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