Considere novamente a situação do item 5 , mas com a seguinte modificação: as peças são produzidas em três máquinas, que são responsáveis por
e
da produção, respectivamente. As proporções de peças defeituosas produzidas nessas máquinas são
e
.
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida na máquina A ? E na máquina B ? E na máquina C ?
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida na máquina A ? E na máquina B ? E na máquina C ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre produção de peças em três máquinas diferentes, cada uma com uma porcentagem específica da produção total e uma taxa de defeitos própria. A gente precisa descobrir a probabilidade de que uma peça defeituosa venha de cada uma dessas máquinas. Isso envolve conceitos de probabilidade condicional e o teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- Máquina A produz 30% das peças, com 5% de defeitos.
- Máquina B produz 35% das peças, com 2,5% de defeitos.
- Máquina C produz 35% das peças, com 2% de defeitos.
Queremos achar a probabilidade de que uma peça defeituosa veio de cada máquina, ou seja, P(A|Defeito), P(B|Defeito) e P(C|Defeito).
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Onde X pode ser A, B ou C.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular $ P(Defeito) $, que é a probabilidade total de uma peça ser defeituosa. Isso pode ser calculado somando as probabilidades de defeito de cada máquina ponderadas pela sua participação na produção:
Substituindo os valores:
Então, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é 3,075%.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de a peça defeituosa ter vindo de cada máquina usando o Teorema de Bayes.
Para a Máquina A:
Para a Máquina B:
Para a Máquina C:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha sido produzida pela Máquina A é aproximadamente 48,78%, pela Máquina B é 28,41% e pela Máquina C é 22,75%.