Mensagens chegam a um servidor de acordo com uma distribuição de Poisson, com taxa média de cinco chegadas por minuto.
b) Qual é a probabilidade de que uma chegada ocorra em 30 segundos?

Passo 1

Então, temos um problema onde mensagens chegam a um servidor seguindo uma distribuição de Poisson, com uma taxa média de cinco chegadas por minuto. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de que exatamente uma chegada aconteça em 30 segundos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo fixo.

Passo 2

Primeiro, como a taxa é de cinco chegadas por minuto, precisamos ajustar isso para 30 segundos. Como 30 segundos é meio minuto, a nova taxa lambda' = 5 times 0.5 = 2.5 será:
Então, em 30 segundos, esperamos, em média, 2.5 chegadas.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de exatamente uma chegada ( P(k) = e^-lambda' times (lambda')^kk! ). A fórmula é:
P(1) = e^-2.5 times (2.5)^11!
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, calculamos e^-2.5 approx 0.0821 :
P(1) = 0.0821 times 2.5 approx 0.2053
Depois, multiplicamos por e dividimos por (já que ):

Resposta

A probabilidade de que exatamente uma chegada ocorra em 30 segundos é aproximadamente 20,53%.

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