Considere o número complexo
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(a) Encontre o inverso
de
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(b) Verifique sua resposta calculando
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(a) Encontre o inverso
(b) Verifique sua resposta calculando
Passo 1
Beleza! A gente tem o número complexo $ z = 3 + 4i $ e precisa:
(a) Encontrar o inverso $ z^{-1} $ de $ z $.
(b) Verificar se a resposta tá certa calculando $ z \cdot z^{-1} $.
(a) Encontrar o inverso $ z^{-1} $ de $ z $.
(b) Verificar se a resposta tá certa calculando $ z \cdot z^{-1} $.
Vamos usar conceitos de números complexos, como conjugado e módulo, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o inverso de um número complexo $ z $ é dado por:
Aqui, $ \overline{z} $ é o conjugado de $ z $ e $ |z| $ é o módulo de $ z $.
Passo 3
Vamos encontrar o conjugado de $ z $. O conjugado de $ z = 3 + 4i $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo de $ z $:
Então, $ |z|^2 = 5^2 = 25 $.
Passo 5
Com o conjugado e o módulo calculados, aplicamos a fórmula do inverso:
Passo 6
Agora, vamos verificar se nosso inverso está correto multiplicando $ z $ por $ z^{-1} $:
Vamos multiplicar termo a termo:
Como $ i^2 = -1 $, fica:
Então, confirma que $ z^{-1} $ está correto.
Resposta
O inverso de $ z = 3 + 4i $ é: