Considere o número complexo z=3+4 i.
(a) Encontre o inverso z^-1 de z.
(b) Verifique sua resposta calculando z cdot z^-1.

Passo 1

Beleza! A gente tem o número complexo $ z = 3 + 4i $ e precisa:
(a) Encontrar o inverso $ z^{-1} $ de $ z $.
(b) Verificar se a resposta tá certa calculando $ z \cdot z^{-1} $.
Vamos usar conceitos de números complexos, como conjugado e módulo, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o inverso de um número complexo $ z $ é dado por:
z
Aqui, $ \overline{z} $ é o conjugado de $ z $ e $ |z| $ é o módulo de $ z $.

Passo 3

Vamos encontrar o conjugado de $ z $. O conjugado de $ z = 3 + 4i $ é:
z

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de $ z $:
z
Então, $ |z|^2 = 5^2 = 25 $.

Passo 5

Com o conjugado e o módulo calculados, aplicamos a fórmula do inverso:
z^-1 = 3 - 4i25 = 325 - 425i

Passo 6

Agora, vamos verificar se nosso inverso está correto multiplicando $ z $ por $ z^{-1} $:
z
Vamos multiplicar termo a termo:
z^-1
Como $ i^2 = -1 $, fica:
z cdot z^-1 = (3 + 4i) ( 325 - 425i )
Então, confirma que $ z^{-1} $ está correto.

Resposta

O inverso de $ z = 3 + 4i $ é:
z = 3 + 4i

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