Considere o número complexo
(forma polar).
(a) Calcule
usando a fórmula de De Moivre.
(b) Encontre o inverso
e escreva na forma retangular.
© Realize a divisão
e simplifique o resultado.
(a) Calcule
(b) Encontre o inverso
© Realize a divisão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre números complexos! A questão envolve a forma polar de um número complexo, a fórmula de De Moivre para potências, achar o inverso de um número complexo e fazer uma divisão entre eles. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre formas polar e retangular de números complexos, além da própria fórmula de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ z^3 $ usando a fórmula de De Moivre. Essa fórmula diz que, se tivermos um número complexo na forma polar $ z = r e^{i\theta} $, então:
No nosso caso, $ z = e^{i \pi / 4} $. Note que o módulo $ r = 1 $ (já que não há coeficiente na frente de $ e^{i \pi / 4} $).
Aplicando a fórmula:
Então, $ z^3 = e^{i 3\pi / 4} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o inverso de $ z $, ou seja, $ z^{-1} $, e escrever na forma retangular. O inverso de um número complexo $ z = r e^{i\theta} $ é dado por:
Como $ r = 1 $ no nosso caso:
Para escrever na forma retangular, usamos a identidade de Euler:
Então,
Sabendo que $ \cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, temos:
Passo 4
Por último, vamos fazer a divisão $ \frac{z3}{z{-1}} $ e simplificar o resultado.
Usando as propriedades das potências, sabemos que dividir por $ z^{-1} $ é o mesmo que multiplicar por $ z $:
Agora, aplicando novamente a fórmula de De Moivre:
Sabemos que $ e^{i\pi} = -1 $ (pela famosa identidade de Euler).
Resposta
(a) $ z^{3} = e^{i, 3\pi/4} $
(b) $ z^{-1} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) $
© $ \frac{z{3}}{z{-1}} = -1 $