Calcule as potências do número complexo z=1+i :
(a) z^2,
(b) z^3,
© Generalize para z^n, onde n é um número inteiro positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular as potências do número complexo $ z = 1 + i $. A matéria aqui envolve números complexos e operações com eles, como potenciação. Para resolver, vamos precisar entender como multiplicar números complexos e, depois, encontrar uma forma geral para $ z^n $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ z^2 $. Isso significa multiplicar $ z $ por ele mesmo:
z^2

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os termos:
(1 + i)(1 + i) = 1 cdot 1 + 1 cdot i + i cdot 1 + i cdot i = 1 + i + i + i^2
Sabemos que $ i^2 = -1 $, então substituindo:
i^2 = -1

Passo 4

Agora, vamos para $ z^3 $. Isso é $ z^2 $ multiplicado por $ z $:
z^3

Passo 5

Multiplicando os termos:
2i cdot (1 + i) = 2i cdot 1 + 2i cdot i = 2i + 2i^2
Substituindo $ i^2 $ por -1:
i^2

Passo 6

Agora, vamos generalizar para $ z^n $, onde $ n $ é um número inteiro positivo. Para facilitar, vamos expressar $ z $ na forma polar. Primeiro, encontramos o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $:
z^n
n
Então, $ z $ pode ser escrito como:
z
Usando a fórmula de De Moivre para potências:
r
Isso simplifica para:
theta

Resposta

(a) $ z^{2} = 2i $
(b) $ z^{3} = -2 + 2i $
© Para qualquer número inteiro positivo $ n $, temos:
z^2 = 2i

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