Calcule as potências do número complexo
:
(a)
,
(b)
,
© Generalize para
, onde
é um número inteiro positivo.
(a)
(b)
© Generalize para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular as potências do número complexo $ z = 1 + i $. A matéria aqui envolve números complexos e operações com eles, como potenciação. Para resolver, vamos precisar entender como multiplicar números complexos e, depois, encontrar uma forma geral para $ z^n $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ z^2 $. Isso significa multiplicar $ z $ por ele mesmo:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar os termos:
Sabemos que $ i^2 = -1 $, então substituindo:
Passo 4
Agora, vamos para $ z^3 $. Isso é $ z^2 $ multiplicado por $ z $:
Passo 5
Multiplicando os termos:
Substituindo $ i^2 $ por -1:
Passo 6
Agora, vamos generalizar para $ z^n $, onde $ n $ é um número inteiro positivo. Para facilitar, vamos expressar $ z $ na forma polar. Primeiro, encontramos o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $:
Então, $ z $ pode ser escrito como:
Usando a fórmula de De Moivre para potências:
Isso simplifica para:
Resposta
(a) $ z^{2} = 2i $
(b) $ z^{3} = -2 + 2i $
© Para qualquer número inteiro positivo $ n $, temos: