Considere os números z1=2+3 i e z2=4-5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ): (z1+z2) /(z1-z2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois números complexos, e . O objetivo é calcular e expressar o resultado na forma , onde e são números reais.

Passo 2

Vamos começar calculando z1 + z2 = (2 + 3i) + (4 - 5i) = (2 + 4) + (3i - 5i) = 6 - 2i . Somar números complexos é simples: somamos as partes reais e as partes imaginárias separadamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular z1 - z2 = (2 + 3i) - (4 - 5i) = (2 - 4) + (3i + 5i) = -2 + 8i . Subtrair números complexos também envolve subtrair as partes reais e as partes imaginárias separadamente.

Passo 4

Agora temos que calcular a divisão 6 - 2i-2 + 8i times -2 - 8i-2 - 8i = (6 - 2i)(-2 - 8i)(-2 + 8i)(-2 - 8i) . Para dividir números complexos, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 5

Vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Para o numerador:
(6 - 2i)(-2 - 8i) = 6 times (-2) + 6 times (-8i) + (-2i) times (-2) + (-2i) times (-8i) = -12 - 48i + 4i + 16i^2
Sabemos que -12 - 48i + 4i + 16(-1) = -12 - 48i + 4i - 16 = -28 - 44i , então:
(-2 + 8i)(-2 - 8i) = (-2)^2 - (8i)^2 = 4 - 64i^2 = 4 - 64(-1) = 4 + 64 = 68
Para o denominador:

Passo 6

Agora, temos:
-28 - 44i68 = -2868 + -44i68 = -717 - 1117i

Resposta

z1 + z2z1 - z2 = -717 - 1117i

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