Determine o ângulo theta entre a reta e o plano em cada caso:
(b) r: x=y=z e pi: z=0

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o ângulo theta entre a reta r: x = y = z e o plano pi: z = 0. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e geometria espacial, especificamente sobre vetores diretores de retas e vetores normais de planos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta r. A reta r: x = y = z pode ser representada parametricamente como:
x = t y = t z = t
Onde t é o parâmetro. Portanto, o vetor diretor u da reta é:
u = 1 1 1

Passo 3

Em seguida, identificamos o vetor normal n do plano pi: z = 0. A equação geral de um plano é:
Ax + By + Cz + D = 0
No caso do plano pi: z = 0, temos A = 0, B = 0 e C = 1. Portanto, o vetor normal é:
n = 0 0 1

Passo 4

Para encontrar o ângulo theta entre a reta e o plano, primeiro calculamos o ângulo alpha entre o vetor diretor da reta u e o vetor normal do plano n usando o produto escalar:
cos alpha = u cdot n||u|| , ||n||
Onde:
u cdot n = (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) = 1 ||u|| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 ||n|| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
Então:
cos alpha = 1raiz3 alpha = arccos(1raiz3) approx 54,74^circ

Passo 5

O ângulo theta entre a reta e o plano é complementar ao ângulo alpha encontrado:
theta = 90^circ - alpha theta approx 90^circ - 54,74^circ = 35,26^circ

Resposta

O ângulo entre a reta r: x = y = z e o plano pi: z = 0 é aproximadamente 35,26^circ.

Exercícios relacionados