Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por:
Nosso objetivo aqui é determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de . Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como autovalores, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica. Não se preocupa se esses termos parecem complicados, vou explicar cada um enquanto resolvemos!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores de que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade. Então, vamos montar a matriz .
Passo 3
A matriz de é:
Subtraindo da diagonal principal, temos:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir isso:
Então:
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Agora que temos os autovalores e , vamos determinar suas multiplicidades algébrica e geométrica.
Multiplicidade Algébrica: É quantas vezes um autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui, cada autovalor e aparecem uma vez, então cada um tem multiplicidade algébrica igual a 1.
Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do espaço dos autovetores associados a cada autovalor, ou seja, quantos vetores linearmente independentes satisfazem .
Vamos verificar isso para cada autovalor.
Para :
[
T - 4I =
]
Resolvendo :
Então, os autovetores são da forma , ou seja, qualquer múltiplo de . Isso significa que há uma única direção para os autovetores, então a multiplicidade geométrica de é 1.
Para :
[
T - 1I =
]
Resolvendo :
Então, os autovetores são da forma , ou seja, qualquer múltiplo de . Isso também indica uma única direção para os autovetores, então a multiplicidade geométrica de é 1.
Resposta
Cada autovalor de tem multiplicidade algébrica igual a 1 e multiplicidade geométrica igual a 1.