Considere o operador linear T: R^2 R^2 definido por
T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)
© Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear T(x, y) = (2x + 2y, x + 3y) definido por:
Nosso objetivo aqui é determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de . Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como autovalores, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica. Não se preocupa se esses termos parecem complicados, vou explicar cada um enquanto resolvemos!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 . Autovalores são valores de que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade. Então, vamos montar a matriz .

Passo 3

A matriz de 2 & 2 1 & 3 é:
T - lambda I = 2 - lambda & 2 1 & 3 - lambda
Subtraindo det(T - lambda I) = (2 - lambda)(3 - lambda) - (2)(1) = (2 - lambda)(3 - lambda) - 2 da diagonal principal, temos:
(2 - lambda)(3 - lambda) = 6 - 2lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 6
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = lambda^2 - 5lambda + 6 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Vamos expandir isso:
lambda^2 - 5lambda + 4 = 0
Então:
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
lambda1 = 5 + 32 = 4 e lambda2 = 5 - 32 = 1
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Agora que temos os autovalores T - 4I = 2 - 4 & 2 1 & 3 - 4 = -2 & 2 1 & -1 e -2x + 2y = 0 Rightarrow x = y , vamos determinar suas multiplicidades algébrica e geométrica.
  • Multiplicidade Algébrica: É quantas vezes um autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui, cada autovalor T - 1I = 2 - 1 & 2 1 & 3 - 1 = 1 & 2 1 & 2 e x + 2y = 0 Rightarrow x = -2y aparecem uma vez, então cada um tem multiplicidade algébrica igual a 1.
  • Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do espaço dos autovetores associados a cada autovalor, ou seja, quantos vetores linearmente independentes satisfazem .
Vamos verificar isso para cada autovalor.

Para :
[
T - 4I =


]
Resolvendo :
Então, os autovetores são da forma , ou seja, qualquer múltiplo de . Isso significa que há uma única direção para os autovetores, então a multiplicidade geométrica de é 1.

Para :
[
T - 1I =


]
Resolvendo :
Então, os autovetores são da forma , ou seja, qualquer múltiplo de . Isso também indica uma única direção para os autovetores, então a multiplicidade geométrica de é 1.

Resposta

Cada autovalor de tem multiplicidade algébrica igual a 1 e multiplicidade geométrica igual a 1.

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Questão 2 (1,2) Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se T: R^2 R^2 possui autovetores v1=(-2.1) e v2=(3,1) associados aos autovalores lambda1=3 e lambda2=-1, respectivamente, então T(-1.3)=(-15,3).
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