Questão Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se possui autovetores e associados aos autovalores e , respectivamente, então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear com dois autovetores dados: associado ao autovalor e associado ao autovalor . O exercício nos pergunta se, aplicando no vetor , o resultado é . Vamos descobrir se isso é verdadeiro ou falso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Se é um autovetor de com autovalor , então . Isso significa que, ao aplicar em , o resultado é o próprio vetor escalado por .
Passo 3
Nosso próximo passo é verificar se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores e . Em outras palavras, queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 4
Vamos montar as equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Passo 6
Agora que temos e , podemos calcular usando a linearidade de :