Questão 2 (1,2) Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se T: R^2 R^2 possui autovetores v1=(-2.1) e v2=(3,1) associados aos autovalores lambda1=3 e lambda2=-1, respectivamente, então T(-1.3)=(-15,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear com dois autovetores dados: associado ao autovalor e associado ao autovalor . O exercício nos pergunta se, aplicando no vetor , o resultado é . Vamos descobrir se isso é verdadeiro ou falso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Se é um autovetor de com autovalor , então . Isso significa que, ao aplicar em , o resultado é o próprio vetor escalado por .

Passo 3

Nosso próximo passo é verificar se o vetor (-1,3) = a cdot (-2,1) + b cdot (3,1) pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores e . Em outras palavras, queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos montar as equações:
-2a + 3b = -1 (para a primeira coordenada)
a + b = 3 (para a segunda coordenada)

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: -2(3 - b) + 3b = -1 -6 + 2b + 3b = -1 5b = 5 b = 1
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 6

Agora que temos T(-1,3) = T(a cdot v1 + b cdot v2) = a cdot T(v1) + b cdot T(v2) e T(-1,3) = 2 cdot (-6,3) + 1 cdot (-3,-1) = (-12,6) + (-3,-1) = (-15,5) , podemos calcular usando a linearidade de :
Sabemos que
e .
Então:

Resposta

Falso. O resultado correto de é , não .

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