Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto .
Mostre que o vector é combinação linear dos vectores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear envolvendo espaços vetoriais e combinações lineares. O problema está no espaço dos polinômios de grau até 2, denotado por . O conjunto contém dois vetores (polinômios) desse espaço. A tarefa é mostrar que o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, é quando você multiplica cada vetor por um escalar (um número qualquer) e depois soma os resultados. No nosso caso, queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado esquerdo para facilitar a comparação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois polinômios. O polinômio do lado direito é , que pode ser escrito como:
Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação, .
  2. Da terceira equação, .
  3. Verificando a primeira equação: , que confirma que está tudo certo.

Resposta

Portanto, os escalares são e . Assim, podemos escrever:

Exercícios relacionados

Defina os seguintes termos: Nivelamento taqueométrico.
Defina os seguintes termos: Altitude ortométrica.
Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de assíntotas passando pelo ponto ;
Considere em o conjunto . Calcule o único valor de a que faz com que não gere .