Considere em P2 (espaço dos polinómios com grau <= 2 ) o conjunto S=1+t, 1-t^2.
Mostre que o vector t+t^2 é combinação linear dos vectores de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear envolvendo espaços vetoriais e combinações lineares. O problema está no espaço dos polinômios de grau até 2, denotado por P2. O conjunto S = 1 + t, 1 - t^2 contém dois vetores (polinômios) desse espaço. A tarefa é mostrar que o polinômio t + t^2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em S.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, é quando você multiplica cada vetor por um escalar (um número qualquer) e depois soma os resultados. No nosso caso, queremos encontrar escalares alpha e beta tais que:
alpha(1 + t) + beta(1 - t^2) = t + t^2

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado esquerdo para facilitar a comparação:
alpha(1 + t) + beta(1 - t^2) = alpha cdot 1 + alpha cdot t + beta cdot 1 - beta cdot t^2
Isso simplifica para:
(alpha + beta) + alpha t - beta t^2

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois polinômios. O polinômio do lado direito é t + t^2, que pode ser escrito como:
0 + 1 cdot t + 1 cdot t^2
Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
alpha + beta = 0 &(coeficiente de t^0) alpha = 1 &(coeficiente de t^1) -beta = 1 &(coeficiente de t^2)

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação, alpha = 1.
  2. Da terceira equação, -beta = 1 Rightarrow beta = -1.
  3. Verificando a primeira equação: 1 + (-1) = 0, que confirma que está tudo certo.

Resposta

Portanto, os escalares são alpha = 1 e beta = -1. Assim, podemos escrever:
t + t^2 = 1 cdot (1 + t) + (-1) cdot (1 - t^2)

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