Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto .
Mostre que o vector é combinação linear dos vectores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear envolvendo espaços vetoriais e combinações lineares. O problema está no espaço dos polinômios de grau até 2, denotado por . O conjunto contém dois vetores (polinômios) desse espaço. A tarefa é mostrar que o polinômio pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, é quando você multiplica cada vetor por um escalar (um número qualquer) e depois soma os resultados. No nosso caso, queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 3
Vamos expandir a expressão do lado esquerdo para facilitar a comparação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois polinômios. O polinômio do lado direito é , que pode ser escrito como:
Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, alpha = 1.
Da terceira equação, -beta = 1 Rightarrow beta = -1.
Verificando a primeira equação: 1 + (-1) = 0, que confirma que está tudo certo.
Resposta
Portanto, os escalares são alpha = 1 e beta = -1. Assim, podemos escrever: