Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de assíntotas
passando pelo ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação e esboçar o gráfico de uma hipérbole que tem como assíntotas as retas
e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre hipérboles e suas propriedades, especialmente como as assíntotas influenciam a forma da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são retas que a hipérbole se aproxima quando
ou
tendem ao infinito. Para uma hipérbole centralizada na origem com assíntotas
, a equação padrão é:
Aqui,
é um parâmetro que define a abertura da hipérbole. Note que usamos
tanto no numerador de
quanto em
porque as assíntotas são
, indicando que os coeficientes de
e
são iguais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
usando o ponto pelo qual a hipérbole passa, que é
. Vamos substituir
e
na equação para encontrar
:
Simplificando isso:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Portanto,
.
Passo 5
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação padrão da hipérbole:
Podemos simplificar essa equação multiplicando todos os termos por 56:
Essa é a equação da hipérbole que atende às condições do problema.
Resposta
A equação da hipérbole é
. O gráfico dessa hipérbole possui assíntotas nas retas
e passa pelo ponto
.
Exercícios relacionados
Considere em
(espaço dos polinómios com grau
) o conjunto
.
Mostre que o vector é combinação linear dos vectores de
.
Mostre que o vector
Defina os seguintes termos: Nivelamento taqueométrico.
Considere em
o conjunto
. Calcule o único valor de a que faz com que
não gere
.
Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes: