Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de assíntotas y= pm x passando pelo ponto (5,9);

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação e esboçar o gráfico de uma hipérbole que tem como assíntotas as retas e que passa pelo ponto . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre hipérboles e suas propriedades, especialmente como as assíntotas influenciam a forma da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são retas que a hipérbole se aproxima quando y^2a^2 - x^2a^2 = 1 ou tendem ao infinito. Para uma hipérbole centralizada na origem com assíntotas , a equação padrão é:
Aqui, é um parâmetro que define a abertura da hipérbole. Note que usamos tanto no numerador de quanto em porque as assíntotas são , indicando que os coeficientes de e são iguais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de 9^2a^2 - 5^2a^2 = 1 usando o ponto pelo qual a hipérbole passa, que é 81a^2 - 25a^2 = 1 . Vamos substituir 81 - 25a^2 = 1 e 56a^2 = 1 na equação para encontrar :
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, resolvemos para a^2 = 56 :
Portanto, .

Passo 5

Com o valor de y^256 - x^256 = 1 encontrado, substituímos de volta na equação padrão da hipérbole:
y^2 - x^2 = 56
Podemos simplificar essa equação multiplicando todos os termos por 56:
Essa é a equação da hipérbole que atende às condições do problema.

Resposta

A equação da hipérbole é . O gráfico dessa hipérbole possui assíntotas nas retas e passa pelo ponto .

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