Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de assíntotas passando pelo ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação e esboçar o gráfico de uma hipérbole que tem como assíntotas as retas e que passa pelo ponto . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre hipérboles e suas propriedades, especialmente como as assíntotas influenciam a forma da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são retas que a hipérbole se aproxima quando ou tendem ao infinito. Para uma hipérbole centralizada na origem com assíntotas , a equação padrão é:
Aqui, é um parâmetro que define a abertura da hipérbole. Note que usamos tanto no numerador de quanto em porque as assíntotas são , indicando que os coeficientes de e são iguais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de usando o ponto pelo qual a hipérbole passa, que é . Vamos substituir e na equação para encontrar :
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, resolvemos para :
Portanto, .

Passo 5

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na equação padrão da hipérbole:
Podemos simplificar essa equação multiplicando todos os termos por 56:
Essa é a equação da hipérbole que atende às condições do problema.

Resposta

A equação da hipérbole é . O gráfico dessa hipérbole possui assíntotas nas retas e passa pelo ponto .

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