Considere em o conjunto . Calcule o único valor de a que faz com que não gere .
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Olá! Vamos resolver o exercício juntos. Temos um conjunto de quatro vetores em :
Queremos encontrar o valor único de que faz com que não gere. Isso significa que os vetores de são linearmente dependentes para esse valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e independência linear.
Passo 2
Montando a Matriz e Calculando o Determinante
Primeiro, vamos organizar os vetores de A = 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & a como colunas de uma matriz :
Para que os vetores sejam linearmente independentes e, portanto, gerem , o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero (). Queremos o caso contrário, ou seja, .
Passo 3
Calculando o Determinante da Matriz
Vamos calcular det(A) = a11 cdot C11 - a12 cdot C12 + a13 cdot C13 - a14 cdot C14 . Uma maneira de calcular o determinante de uma matriz 4x4 é usando a regra de Sarrus ou desenvolvimento por cofatores. Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
C11 = 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 1 & 0 & a
Onde C11 = 1 cdot (0 cdot a - 1 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot a - 1 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot 0 - 0 cdot 1) = 0 - (-1) + 0 = 1 são os cofatores. Vamos calcular cada termo:
C13 = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 1 & a , e C13 = 0 cdot (0 cdot a - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot a - 1 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 0 - a + 1 = -a + 1 é o determinante da submatriz removendo a primeira linha e primeira coluna:
C14 = 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & a
Calculando esse determinante:
C14 = 0 cdot (1 cdot a - 1 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot a - 1 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 0) = 0 - a + 0 = -a
det(A) = 1 cdot 1 - 0 + 1 cdot (-a + 1) - 1 cdot (-a) = 1 + (-a + 1) + a = 1 - a + 1 + a = 2 , então o termo será zero.
, e é:
Calculando:
, e é:
Calculando:
Agora, substituindo na expressão do determinante:
Passo 4
Analisando o Resultado do Determinante
Calculamos que . Para que os vetores sejam linearmente dependentes, precisaríamos que . No entanto, conforme encontramos, , que é diferente de zero independentemente do valor de .
Isso indica que, na verdade, não existe um valor de que torne os vetores de linearmente dependentes. Ou seja, para qualquer valor de , o conjunto sempre gera.
Resposta
Não existe valor de que faça com que o conjunto não gere . Para todo valor de , os vetores de são linearmente independentes e, portanto, geram .