Considere em o conjunto . Calcule o único valor de a que faz com que não gere .
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Olá! Vamos resolver o exercício juntos. Temos um conjunto de quatro vetores em :
Queremos encontrar o valor único de que faz com que não gere. Isso significa que os vetores de são linearmente dependentes para esse valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e independência linear.
Passo 2
Montando a Matriz e Calculando o Determinante
Primeiro, vamos organizar os vetores de como colunas de uma matriz :
Para que os vetores sejam linearmente independentes e, portanto, gerem , o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero (). Queremos o caso contrário, ou seja, .
Passo 3
Calculando o Determinante da Matriz
Vamos calcular . Uma maneira de calcular o determinante de uma matriz 4x4 é usando a regra de Sarrus ou desenvolvimento por cofatores. Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
Onde são os cofatores. Vamos calcular cada termo:
, e é o determinante da submatriz removendo a primeira linha e primeira coluna:
Calculando esse determinante:
, então o termo será zero.
, e é:
Calculando:
, e é:
Calculando:
Agora, substituindo na expressão do determinante:
Passo 4
Analisando o Resultado do Determinante
Calculamos que . Para que os vetores sejam linearmente dependentes, precisaríamos que . No entanto, conforme encontramos, , que é diferente de zero independentemente do valor de .
Isso indica que, na verdade, não existe um valor de que torne os vetores de linearmente dependentes. Ou seja, para qualquer valor de , o conjunto sempre gera.
Resposta
Não existe valor de que faça com que o conjunto não gere . Para todo valor de , os vetores de são linearmente independentes e, portanto, geram .