Considere em o conjunto . Calcule o único valor de a que faz com que não gere .

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Olá! Vamos resolver o exercício juntos. Temos um conjunto de quatro vetores em :
Queremos encontrar o valor único de que faz com que não gere . Isso significa que os vetores de são linearmente dependentes para esse valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e independência linear.

Passo 2

Montando a Matriz e Calculando o Determinante
Primeiro, vamos organizar os vetores de como colunas de uma matriz :
Para que os vetores sejam linearmente independentes e, portanto, gerem , o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero ( ). Queremos o caso contrário, ou seja, .

Passo 3

Calculando o Determinante da Matriz
Vamos calcular . Uma maneira de calcular o determinante de uma matriz 4x4 é usando a regra de Sarrus ou desenvolvimento por cofatores. Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
Onde são os cofatores. Vamos calcular cada termo:
  1. , e é o determinante da submatriz removendo a primeira linha e primeira coluna:
Calculando esse determinante:
  1. , então o termo será zero.
  2. , e é:
Calculando:
  1. , e é:
Calculando:
Agora, substituindo na expressão do determinante:

Passo 4

Analisando o Resultado do Determinante
Calculamos que . Para que os vetores sejam linearmente dependentes, precisaríamos que . No entanto, conforme encontramos, , que é diferente de zero independentemente do valor de .
Isso indica que, na verdade, não existe um valor de que torne os vetores de linearmente dependentes. Ou seja, para qualquer valor de , o conjunto sempre gera .

Resposta

Não existe valor de que faça com que o conjunto não gere . Para todo valor de , os vetores de são linearmente independentes e, portanto, geram .

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Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto .
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Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Considere as matrizes: , e
Calcule quando possível, as seguintes matrizes: