Considere pacote. Seja 0.7 a probabilidade de transmissão bem sucedida de qualquer uma das cópias.
(a) Obtenha a função de probabilidade da variável de interesse. Qual o seu valor médio e a variância?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a transmissão de pacotes de dados, onde cada tentativa de envio tem uma probabilidade de sucesso de 0,7. O conteúdo que vamos usar aqui é da Teoria das Probabilidades, especificamente sobre Distribuições de Probabilidade Discreta. Para resolver, vamos precisar entender como modelar a variável que representa o número de tentativas até uma transmissão bem-sucedida, além de calcular o valor médio e a variância dessa variável.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual é a variável de interesse no problema. Aqui, estamos interessados em saber quantas tentativas são necessárias até que uma transmissão seja bem-sucedida. Vamos chamar essa variável de .

Passo 3

A probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante e independente das tentativas anteriores, com . Esse cenário se encaixa na Distribuição Geométrica, que modela o número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 4

A função de probabilidade da Distribuição Geométrica é dada por:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 times p
onde:
  • é o número de tentativas,
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 5

Substituindo P(X = k) = (1 - 0,7)^k-1 times 0,7 = (0,3)^k-1 times 0,7 na fórmula, temos:
P(X = k) = 0,7 times 0,3^k-1
Então, a função de probabilidade da variável é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor médio (ou esperança matemática) da variável E(X) = 1p . Para a Distribuição Geométrica, a média é dada por:
E(X) = 10,7 approx 1,4286
Substituindo :

Passo 7

Em seguida, vamos calcular a variância da variável Var(X) = 1 - pp^2 . A variância para a Distribuição Geométrica é:
Var(X) = 1 - 0,70,7^2 = 0,30,49 approx 0,6122
Substituindo :

Resposta

A função de probabilidade da variável de interesse é:
P(X = k) = 0,7 times 0,3^k-1
O valor médio é aproximadamente 1,4286 e a variância é aproximadamente 0,6122.

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