Sabendo que A, a e b são constantes reais positivas,
a) Normalize Psi(x, 0).
b) Determine a localização mais provável da partícula em t=0.
c) Determine o valor mais provável de x em t=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função Psi(x, 0) definida em pedaços diferentes para diferentes intervalos de x. As constantes A, a e b são positivas. Nosso objetivo é:
a) Normalizar Psi(x, 0).
b) Encontrar a localização mais provável da partícula em t=0.
c) Determinar o valor mais provável de x em t=0.
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
a) Normalizar Psi(x, 0).
Para normalizar a função de onda Psi(x, 0), a gente precisa garantir que a integral do seu módulo ao quadrado seja igual a 1:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Dado que Psi(x, 0) é diferente de zero apenas entre 0 e b, a integral fica dividida em duas partes:
integral0^a ( A xa )^2 dx + integrala^b ( A b - xb - a )^2 dx = 1
Passo 3
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral (0 <= x <= a):
integral0^a ( A xa )^2 dx = A^2 1a^2 integral0^a x^2 dx
Calculando a integral de x^2:
integral0^a x^2 dx = [ x^33 ]0^a = a^33
Então:
A^2 1a^2 cdot a^33 = A^2 a3
Passo 4
Segunda integral (a <= x <= b):
integrala^b ( A b - xb - a )^2 dx = A^2 1(b - a)^2 integrala^b (b - x)^2 dx
Fazendo a substituição t = b - x, dt = -dx. Quando x = a, t = b - a; quando x = b, t = 0.