Psi(x, 0)=lcA xa, & 0 <= x <= a, A b-xb-a, & a <= x <= b, 0, & qualquer outro caso
Sabendo que A, a e b são constantes reais positivas,
a) Normalize Psi(x, 0).
b) Determine a localização mais provável da partícula em t=0.
c) Determine o valor mais provável de x em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função Psi(x, 0) definida em pedaços diferentes para diferentes intervalos de x. As constantes A, a e b são positivas. Nosso objetivo é:
a) Normalizar Psi(x, 0).
b) Encontrar a localização mais provável da partícula em t=0.
c) Determinar o valor mais provável de x em t=0.
Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

a) Normalizar Psi(x, 0).
Para normalizar a função de onda Psi(x, 0), a gente precisa garantir que a integral do seu módulo ao quadrado seja igual a 1:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Dado que Psi(x, 0) é diferente de zero apenas entre 0 e b, a integral fica dividida em duas partes:
integral0^a ( A xa )^2 dx + integrala^b ( A b - xb - a )^2 dx = 1

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral ( 0 <= x <= a):
integral0^a ( A xa )^2 dx = A^2 1a^2 integral0^a x^2 dx
Calculando a integral de x^2:
integral0^a x^2 dx = [ x^33 ]0^a = a^33
Então:
A^2 1a^2 cdot a^33 = A^2 a3

Passo 4

Segunda integral ( a <= x <= b):
integrala^b ( A b - xb - a )^2 dx = A^2 1(b - a)^2 integrala^b (b - x)^2 dx
Fazendo a substituição t = b - x, dt = -dx. Quando x = a, t = b - a; quando x = b, t = 0.
Assim:
A^2 1(b - a)^2 integral0^b - a t^2 dt = A^2 1(b - a)^2 cdot [ t^33 ]0^b - a = A^2 (b - a)3

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais para igualar a 1:
A^2 a3 + A^2 (b - a)3 = A^2 b3 = 1
Resolvendo para A:
A^2 b3 = 1 Rightarrow A^2 = 3b Rightarrow A = raiz3b

Passo 6

b) Determinar a localização mais provável da partícula em t=0.
A localização mais provável é o valor esperado de x, dado por:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty x |Psi(x, 0)|^2 dx
Como Psi(x, 0) é zero fora de 0 e b, a integral fica:
lang<= x rang<= = integral0^a x ( A xa )^2 dx + integrala^b x ( A b - xb - a )^2 dx
Usando A = raiz3b que encontramos na parte a), substituímos e resolvemos as integrais.

Passo 7

Vamos calcular cada parte da integral.
Primeira parte ( 0 <= x <= a):
integral0^a x ( A xa )^2 dx = A^2 1a^2 integral0^a x^3 dx = A^2 1a^2 cdot a^44 = A^2 a^24
Segunda parte ( a <= x <= b):
integrala^b x ( A b - xb - a )^2 dx = A^2 1(b - a)^2 integrala^b x (b - x)^2 dx
Fazendo t = b - x, x = b - t, dt = -dx:
A^2 1(b - a)^2 integral0^b - a (b - t) t^2 dt = A^2 1(b - a)^2 ( b integral0^b - a t^2 dt - integral0^b - a t^3 dt )
Calculando:
b cdot (b - a)^33 - (b - a)^44 = b (b - a)^33 - (b - a)^44

Passo 8

Substituindo tudo:
lang<= x rang<= = A^2 a^24 + A^2 1(b - a)^2 ( b (b - a)^33 - (b - a)^44 )
Simplificando:
lang<= x rang<= = 3b cdot a^24 + 3b cdot ( b (b - a)3 - (b - a)^24 )
lang<= x rang<= = 3a^24b + 3b ( b (b - a)3 - (b - a)^24 )
lang<= x rang<= = 3a^24b + (b - a) - 3(b - a)^24b
Simplificando mais:
lang<= x rang<= = 3a^24b + b - a - 3(b^2 - 2ab + a^2)4b
lang<= x rang<= = 3a^24b + b - a - 3b^2 - 6ab + 3a^24b
lang<= x rang<= = 3a^24b + 4b^24b - 4ab4b - 3b^2 - 6ab + 3a^24b
lang<= x rang<= = 3a^2 + 4b^2 - 4ab - 3b^2 + 6ab - 3a^24b = b^2 + 2ab4b = b + 2a4

Passo 9

c) Determinar o valor mais provável de x em t=0.
O valor mais provável de x é onde a densidade de probabilidade |Psi(x, 0)|^2 atinge seu máximo.
Vamos encontrar o máximo de |Psi(x, 0)|^2 para 0 <= x <= b.
Para 0 <= x <= a:
|Psi(x, 0)|^2 = ( A xa )^2 = A^2 x^2a^2
Para a <= x <= b:
|Psi(x, 0)|^2 = ( A b - xb - a )^2 = A^2 (b - x)^2(b - a)^2
Vamos derivar cada parte e encontrar onde a derivada é zero.

Passo 10

Para 0 <= x <= a:
Derivada de $ |\Psi(x, 0)|^2 $ em relação a |Psi(x, 0)|^2 :
x
Igualando a zero:
ddx ( A^2 x^2a^2 ) = 2A^2 xa^2
Mas 2A^2 xa^2 = 0 Rightarrow x = 0 é um ponto mínimo.
Para x=0:
Derivada de $ |\Psi(x, 0)|^2 $:
a <= x <= b
Igualando a zero:
|Psi(x, 0)|^2
Novamente, ddx ( A^2 (b - x)^2(b - a)^2 ) = -2A^2 (b - x)(b - a)^2 é um ponto mínimo.

Passo 11

Observando os extremos e os pontos críticos, concluímos que o máximo ocorre no ponto de transição x = a.
Vamos verificar os valores nos limites.
Para x = a:
|Psi(a, 0)|^2 = A^2 aa^2 = A^2a
Comparando com outros pontos, vemos que x = a é o ponto onde |Psi(x, 0)|^2 atinge seu máximo.

Resposta

a) A constante de normalização é $ A = \sqrt{\dfrac{3}{b}} $.
b) A localização mais provável da partícula em A = raizdfrac3b é t=0.
c) O valor mais provável de lang<= x rang<= = dfracb + 2a4 em x é t=0.

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