Considere uma partícula de massa m presa à extremidade de uma mola bem leve com constante elástica k que está pendurada verticalmente. A mola tem comprimento natural l. Obtenha as equações de movimento deste sistema quando esse sistema sofre uma perturbação vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa presa na ponta de uma mola com constante elástica , pendurada verticalmente. A mola tem comprimento natural . A gente precisa encontrar as equações de movimento quando essa configuração sofre uma perturbação vertical. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre forças em sistemas massa-mola e as leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o equilíbrio do sistema. Quando a mola está pendurada sem perturbação, ela se estica até alcançar um equilíbrio onde a força da mola equilibra o peso da partícula.
A força exercida pela mola é dada por , onde é a deformação da mola em relação ao seu comprimento natural.

Passo 3

No equilíbrio, a força da mola iguala o peso da partícula:
k De
Aqui, De é a aceleração da gravidade. Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos considerar uma pequena perturbação vertical F = -k (y(t) + De em relação à posição de equilíbrio. A posição total da partícula será então .
A força total na partícula quando há a perturbação é a força da mola menos o peso:

Passo 5

Substituindo F = -k y(t) - k ( m gk ) + m g = -k y(t) na equação da força:
Isso acontece porque as outras forças se cancelam.

Passo 6

Aplicando a segunda lei de Newton m d^2 ydt^2 = -k y(t) , onde :

Passo 7

Rearranjando a equação:
d^2 ydt^2 + km y(t) = 0
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula.

Resposta

A equação de movimento do sistema é:
d^2 ydt^2 + km y(t) = 0

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