Considere uma partícula de massa
presa à extremidade de uma mola bem leve com constante elástica
que está pendurada verticalmente. A mola tem comprimento natural
. Obtenha as equações de movimento deste sistema quando esse sistema sofre uma perturbação vertical.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa
presa na ponta de uma mola com constante elástica
, pendurada verticalmente. A mola tem comprimento natural
. A gente precisa encontrar as equações de movimento quando essa configuração sofre uma perturbação vertical. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre forças em sistemas massa-mola e as leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o equilíbrio do sistema. Quando a mola está pendurada sem perturbação, ela se estica até alcançar um equilíbrio onde a força da mola equilibra o peso da partícula.
A força exercida pela mola é dada por
, onde
é a deformação da mola em relação ao seu comprimento natural.
Passo 3
No equilíbrio, a força da mola iguala o peso da partícula:
Aqui,
é a aceleração da gravidade. Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos considerar uma pequena perturbação vertical
em relação à posição de equilíbrio. A posição total da partícula será então
.
A força total na partícula quando há a perturbação é a força da mola menos o peso:
Passo 5
Substituindo
na equação da força:
Isso acontece porque as outras forças se cancelam.
Passo 6
Aplicando a segunda lei de Newton
, onde
:
Passo 7
Rearranjando a equação:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula.
Resposta
A equação de movimento do sistema é: