Respostas: omega0=raizkm=44 rad / s, gamma=b2 m=0,14 s^-1. (a) omega=raizomega0^2-gamma^2 approx 44 rad / s. Não. (b) para um período T=2 pi / omega, x(0)-x(T)x(0)=1-x(T)x(0)=1-e^-gamma T=0,02, ou seja, redução de 2 % por ciclo. © E=K(t)+U(t)=12 k A^2 e^-2 gamma t, t=-ln (0,05)2 gamma=10,7 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Parece que estamos lidando com um sistema massa-mola com amortecimento. A gente vai precisar entender conceitos como frequência natural ( omega0), taxa de amortecimento ( gamma) e como esses fatores influenciam o movimento do sistema. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Calculando a frequência amortecida ( omega)

Primeiro, a frequência natural do sistema é dada por:
omega0 = raizkm = 44 , rad/s
E a taxa de amortecimento é:
gamma = b2m = 0,14 , s^-1
Para encontrar a frequência amortecida ( omega), usamos a fórmula:
omega = raizomega0^2 - gamma^2
Substituindo os valores:
omega = raiz44^2 - 0,14^2 approx raiz1936 - 0,0196 approx raiz1935,9804 approx 44 , rad/s
Observamos que a frequência amortecida é praticamente igual à frequência natural porque gamma é muito pequeno em relação a omega0.

Passo 3

Parte (b): Calculando a redução de amplitude por ciclo

Primeiro, calculamos o período ( T) do movimento:
T = 2piomega = 2pi44 approx 0,143 , s
A redução relativa da amplitude após um ciclo é dada por:
x(0) - x(T)x(0) = 1 - x(T)x(0) = 1 - e^-gamma T
Substituindo os valores:
1 - e^-0,14 times 0,143 = 1 - e^-0,02 approx 1 - 0,9802 = 0,0198 approx 2%
Isso significa que a amplitude diminui cerca de 2% a cada ciclo devido ao amortecimento.

Passo 4

Parte ©: Calculando o tempo para a energia diminuir para 5%

A energia total do sistema é a soma das energias cinética ( K) e potencial ( U):
E = K(t) + U(t) = 12 k A^2 e^-2gamma t
Queremos encontrar o tempo ( t) em que a energia cai para 5% do valor inicial:
EE0 = e^-2gamma t = 0,05
Resolvendo para t:
-2gamma t = ln(0,05) t = -ln(0,05)2gamma
Substituindo os valores:
t = -ln(0,05)2 times 0,14 approx --2,99570,28 approx 10,7 , s
Portanto, leva aproximadamente 10,7 segundos para a energia do sistema diminuir para 5% do valor inicial.

Resposta

(a) A frequência amortecida é aproximadamente 44 , rad/s.
(b) A amplitude diminui cerca de 2% por ciclo.
© Leva aproximadamente 10,7 , s para a energia reduzir para 5%.

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