Um aro de massa m e raio R rola sem deslizar sobre um plano inclinado de massa M, que faz um ângulo theta com a horizontal. Encontre as equações de Lagrange e as integrais do movimento se o plano desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. Obs. Este problema se distingue do resolvido em sala pela mudança do bloco pelo aro, que pode rolar sem deslizar sobre o plano. Agora a energia cinética do aro deve incluir sua rotação. Sua energia potencial deve ser medida em relação ao centro de massa. Observe ainda que o ponto de contato e a linha vertical do centro de massa não interceptam o plano no mesmo ponto.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos um aro de massa e raio que rola sem deslizar sobre um plano inclinado de massa , formando um ângulo com a horizontal. Além disso, o plano pode deslizar sem atrito sobre uma superfície horizontal. Nosso objetivo é encontrar as equações de Lagrange e as integrais do movimento para esse sistema.
Conteúdo da matéria: Mecânica Lagrangiana, movimentos combinados (translação e rotação), e restrições de movimento (rolagem sem deslizar).
O que precisamos:
  • Definir as coordenadas generalizadas que descrevem o sistema.
  • Expressar as energias cinética e potencial do sistema.
  • Aplicar as equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento.
  • Determinar as integrais do movimento a partir das equações obtidas.

Passo 2

Escolha das coordenadas generalizadas:
Vamos definir duas coordenadas que descrevem completamente o sistema:
  • s = R phi e dots = R dotphi : deslocamento horizontal do plano inclinado em relação à posição inicial.
  • : ângulo de rotação do aro.
Condição de restrição (rolagem sem deslizar):
Como o aro rola sem deslizar sobre o plano, a distância percorrida pelo aro ao rolar é igual ao deslocamento do plano multiplicado pelo cosseno do ângulo :
onde é o deslocamento do aro ao longo do plano.

Passo 3

Posições e velocidades:
A posição do centro de massa do aro em relação ao plano inclinado é dado por:
Xcm = x + s cos theta = x + R phi cos theta
Ycm = s sin theta = R phi sin theta
As velocidades são derivadas em relação ao tempo:
dotXcm = dotx + R dotphi cos theta
dotYcm = R dotphi sin theta

Passo 4

Energia cinética total ( Taro = 12 m (dotXcm^2 + dotYcm^2) + 12 I dotphi^2 ):
A energia cinética do aro inclui tanto a translacional quanto a rotacional:
Taro = 12 m [ (dotx + R dotphi cos theta)^2 + (R dotphi sin theta)^2 ] + 12 m R^2 dotphi^2
onde Taro = 12 m dotx^2 + m R dotx dotphi cos theta + m R^2 dotphi^2 é o momento de inércia do aro.
Substituindo:
Tplano = 12 M dotx^2
Expandindo os termos:
T = Taro + Tplano = 12 (M + m) dotx^2 + m R cos theta , dotx dotphi + m R^2 dotphi^2
A energia cinética do plano inclinado é apenas translacional:
Energia cinética total do sistema:

Passo 5

Energia potencial ( Ycm = R phi sin theta ):
Considerando que a energia potencial é medida em relação ao centro de massa do aro, a altura do aro no plano inclinado é:
V = m g Ycm = m g R phi sin theta
Portanto, a energia potencial gravitacional é:

Passo 6

Formação do Lagrangiano ( L = T - V = 12 (M + m) dotx^2 + m R cos theta , dotx dotphi + m R^2 dotphi^2 - m g R phi sin theta ):

Passo 7

Aplicação das Equações de Lagrange:
Temos duas coordenadas generalizadas: ddt ( partial Lpartial dotx ) - partial Lpartial x = 0 e partial Lpartial dotx = (M + m) dotx + m R cos theta , dotphi . Aplicamos a equação de Lagrange para cada uma.
  1. Para a coordenada ddt ( (M + m) dotx + m R cos theta , dotphi ) = (M + m) ddotx + m R cos theta , ddotphi :
partial Lpartial x = 0
Calculando as derivadas:
(M + m) ddotx + m R cos theta , ddotphi = 0 (1)
ddt ( partial Lpartial dotphi ) - partial Lpartial phi = 0
partial Lpartial dotphi = m R cos theta , dotx + 2 m R^2 dotphi
Portanto, a equação fica:
ddt ( m R cos theta , dotx + 2 m R^2 dotphi ) = m R cos theta , ddotx + 2 m R^2 ddotphi
  1. Para a coordenada partial Lpartial phi = - m g R sin theta :
m R cos theta , ddotx + 2 m R^2 ddotphi + m g R sin theta = 0 (2)
Calculando as derivadas:
Portanto, a equação fica:

Passo 8

Resolução do sistema de equações:
Temos o seguinte sistema de equações:
(M + m) ddotx + m R cos theta , ddotphi = 0 & (1) m R cos theta , ddotx + 2 m R^2 ddotphi + m g R sin theta = 0 & (2)
Vamos resolver para ddotx = - m R cos thetaM + m ddotphi e m R cos theta ( - m R cos thetaM + m ddotphi ) + 2 m R^2 ddotphi + m g R sin theta = 0 .
  1. Isolando - m^2 R^2 cos^2 thetaM + m ddotphi + 2 m R^2 ddotphi + m g R sin theta = 0 da equação (1):
( 2 m R^2 - m^2 R^2 cos^2 thetaM + m ) ddotphi = - m g R sin theta
  1. Substituindo ddotphi = - m g R sin theta 2 m R^2 - m^2 R^2 cos^2 thetaM + m na equação (2):
ddotphi = - g sin theta 2 R - m R cos^2 thetaM + m
ddotx = - m R cos thetaM + m ddotphi
ddotx = - m R cos thetaM + m ( - g sin theta 2 R - m R cos^2 thetaM + m )
ddotx = m R cos theta , g sin theta (M + m) ( 2 R - m R cos^2 thetaM + m )
ddotx = m g R cos theta sin theta 2 R (M + m) - m R cos^2 theta
  1. Encontrando :
Substituindo :
Essas expressões representam as integrais do movimento para e .

Resposta

As equações de Lagrange para o sistema são:
(M + m) ddotx + m R cos theta , ddotphi = 0
m R cos theta , ddotx + 2 m R^2 ddotphi + m g R sin theta = 0
As integrais do movimento, ou seja, as acelerações ddotphi = - g sin theta 2 R - m R cos^2 thetaM + m e ddotx = m g R cos theta sin theta 2 R (M + m) - m R cos^2 theta , são dadas por:
Essas expressões descrevem como o plano e o aro se movimentam ao longo do tempo, considerando a rolagem sem deslizar e as forças envolvidas no sistema.

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