Um aro de massa
e raio
rola sem deslizar sobre um plano inclinado de massa
, que faz um ângulo
com a horizontal. Encontre as equações de Lagrange e as integrais do movimento se o plano desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. Obs. Este problema se distingue do resolvido em sala pela mudança do bloco pelo aro, que pode rolar sem deslizar sobre o plano. Agora a energia cinética do aro deve incluir sua rotação. Sua energia potencial deve ser medida em relação ao centro de massa. Observe ainda que o ponto de contato e a linha vertical do centro de massa não interceptam o plano no mesmo ponto.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos um aro de massa
e raio
que rola sem deslizar sobre um plano inclinado de massa
, formando um ângulo
com a horizontal. Além disso, o plano pode deslizar sem atrito sobre uma superfície horizontal. Nosso objetivo é encontrar as equações de Lagrange e as integrais do movimento para esse sistema.
Conteúdo da matéria: Mecânica Lagrangiana, movimentos combinados (translação e rotação), e restrições de movimento (rolagem sem deslizar).
O que precisamos:
- Definir as coordenadas generalizadas que descrevem o sistema.
- Expressar as energias cinética e potencial do sistema.
- Aplicar as equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento.
- Determinar as integrais do movimento a partir das equações obtidas.
Passo 2
Escolha das coordenadas generalizadas:
Vamos definir duas coordenadas que descrevem completamente o sistema:
-
: deslocamento horizontal do plano inclinado em relação à posição inicial. -
: ângulo de rotação do aro.
Condição de restrição (rolagem sem deslizar):
Como o aro rola sem deslizar sobre o plano, a distância percorrida pelo aro ao rolar é igual ao deslocamento do plano multiplicado pelo cosseno do ângulo :
Como o aro rola sem deslizar sobre o plano, a distância percorrida pelo aro ao rolar é igual ao deslocamento do plano multiplicado pelo cosseno do ângulo
onde
é o deslocamento do aro ao longo do plano.
Passo 3
Posições e velocidades:
A posição do centro de massa do aro em relação ao plano inclinado é dado por:
As velocidades são derivadas em relação ao tempo:
Passo 4
Energia cinética total (
):
A energia cinética do aro inclui tanto a translacional quanto a rotacional:
onde
é o momento de inércia do aro.
Substituindo:
Expandindo os termos:
A energia cinética do plano inclinado é apenas translacional:
Energia cinética total do sistema:
Passo 5
Energia potencial (
):
Considerando que a energia potencial é medida em relação ao centro de massa do aro, a altura do aro no plano inclinado é:
Portanto, a energia potencial gravitacional é:
Passo 6
Formação do Lagrangiano (
):
Passo 7
Aplicação das Equações de Lagrange:
Temos duas coordenadas generalizadas:
e
. Aplicamos a equação de Lagrange para cada uma.
- Para a coordenada
:
Calculando as derivadas:
Portanto, a equação fica:
- Para a coordenada
:
Calculando as derivadas:
Portanto, a equação fica:
Passo 8
Resolução do sistema de equações:
Temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver para
e
.
- Isolando
da equação (1):
- Substituindo
na equação (2):
- Encontrando
:
Substituindo
:
Essas expressões representam as integrais do movimento para
e
.
Resposta
As equações de Lagrange para o sistema são:
As integrais do movimento, ou seja, as acelerações
e
, são dadas por:
Essas expressões descrevem como o plano e o aro se movimentam ao longo do tempo, considerando a rolagem sem deslizar e as forças envolvidas no sistema.
Exercícios relacionados
Respostas:
. (a)
. Não. (b) para um período
, ou seja, redução de
por ciclo. ©
.
Uma molécula qualquer tem uma massa molar de cerca de
/ mol. calcule a rapidez em metros de uma molécula de oxigênio quando a temperatura for de 75 F
16:22
16:22
Considere uma partícula de massa
presa à extremidade de uma mola bem leve com constante elástica
que está pendurada verticalmente. A mola tem comprimento natural
. Obtenha as equações de movimento deste sistema quando esse sistema sofre uma perturbação vertical.
Informe como seria o esquema básico para construção de um eletroímã, indicando seus componentes. Explique sobre os princípios físicos envolvidos.