Um aro de massa e raio rola sem deslizar sobre um plano inclinado de massa , que faz um ângulo com a horizontal. Encontre as equações de Lagrange e as integrais do movimento se o plano desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. Obs. Este problema se distingue do resolvido em sala pela mudança do bloco pelo aro, que pode rolar sem deslizar sobre o plano. Agora a energia cinética do aro deve incluir sua rotação. Sua energia potencial deve ser medida em relação ao centro de massa. Observe ainda que o ponto de contato e a linha vertical do centro de massa não interceptam o plano no mesmo ponto.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos um aro de massa e raio que rola sem deslizar sobre um plano inclinado de massa , formando um ângulo com a horizontal. Além disso, o plano pode deslizar sem atrito sobre uma superfície horizontal. Nosso objetivo é encontrar as equações de Lagrange e as integrais do movimento para esse sistema.
Conteúdo da matéria: Mecânica Lagrangiana, movimentos combinados (translação e rotação), e restrições de movimento (rolagem sem deslizar).
O que precisamos:
  • Definir as coordenadas generalizadas que descrevem o sistema.
  • Expressar as energias cinética e potencial do sistema.
  • Aplicar as equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento.
  • Determinar as integrais do movimento a partir das equações obtidas.

Passo 2

Escolha das coordenadas generalizadas:
Vamos definir duas coordenadas que descrevem completamente o sistema:
  • : deslocamento horizontal do plano inclinado em relação à posição inicial.
  • : ângulo de rotação do aro.
Condição de restrição (rolagem sem deslizar):
Como o aro rola sem deslizar sobre o plano, a distância percorrida pelo aro ao rolar é igual ao deslocamento do plano multiplicado pelo cosseno do ângulo :
onde é o deslocamento do aro ao longo do plano.

Passo 3

Posições e velocidades:
A posição do centro de massa do aro em relação ao plano inclinado é dado por:
As velocidades são derivadas em relação ao tempo:

Passo 4

Energia cinética total ( ):
A energia cinética do aro inclui tanto a translacional quanto a rotacional:
onde é o momento de inércia do aro.
Substituindo:
Expandindo os termos:
A energia cinética do plano inclinado é apenas translacional:
Energia cinética total do sistema:

Passo 5

Energia potencial ( ):
Considerando que a energia potencial é medida em relação ao centro de massa do aro, a altura do aro no plano inclinado é:
Portanto, a energia potencial gravitacional é:

Passo 6

Formação do Lagrangiano ( ):

Passo 7

Aplicação das Equações de Lagrange:
Temos duas coordenadas generalizadas: e . Aplicamos a equação de Lagrange para cada uma.
  1. Para a coordenada :
Calculando as derivadas:
Portanto, a equação fica:
  1. Para a coordenada :
Calculando as derivadas:
Portanto, a equação fica:

Passo 8

Resolução do sistema de equações:
Temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver para e .
  1. Isolando da equação (1):
  1. Substituindo na equação (2):
  1. Encontrando :
Substituindo :
Essas expressões representam as integrais do movimento para e .

Resposta

As equações de Lagrange para o sistema são:
As integrais do movimento, ou seja, as acelerações e , são dadas por:
Essas expressões descrevem como o plano e o aro se movimentam ao longo do tempo, considerando a rolagem sem deslizar e as forças envolvidas no sistema.

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