Considere uma partícula não-relativística de massa
que está sujeita a uma energia potencial
. Discuta que tipo de informação é obtida ao resolvermos
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que a gente descobre quando resolve as equações de Schrödinger, tanto a dependente do tempo quanto a independente do tempo, para uma partícula com massa
numa energia potencial
. Basicamente, estamos no campo da Mecânica Quântica e vamos precisar entender um pouco sobre as equações de Schrödinger e o que elas nos dizem sobre o comportamento das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a equação de Schrödinger dependente do tempo. Essa equação descreve como a função de onda da partícula, que contém toda a informação possível sobre o sistema quântico, evolui ao longo do tempo. A função de onda é geralmente representada por
, onde
é a posição e
é o tempo.
A equação completa é:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o operador laplaciano, e
é o potencial.
Resolvendo essa equação, a gente consegue saber exatamente como a função de onda muda com o tempo, o que nos dá a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer posição
a qualquer instante
. Ou seja, temos uma descrição completa do estado da partícula em todo o espaço e tempo.
Passo 3
Agora, vamos para a equação de Schrödinger independente do tempo. Essa versão simplificada da equação de Schrödinger é usada quando o potencial
não depende do tempo, ou seja, é estático. A função de onda é separada em uma parte que depende apenas da posição e outra que depende apenas do tempo.
A equação fica assim:
Aqui,
é a função de onda espacial e
é a energia total da partícula.
Resolvendo essa equação, conseguimos os autovalores de energia
e as respectivas funções de onda estacionárias
. Essas soluções nos dizem os estados de energia fixa que a partícula pode assumir e como ela está distribuída no espaço nesses estados.
Resposta
Resumindo, ao resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos a evolução completa da função de onda da partícula ao longo do tempo, proporcionando uma descrição detalhada de como o estado quântico muda. Já ao resolver a equação independente do tempo, encontramos os estados estacionários e seus correspondentes níveis de energia, que são fundamentais para entender as possíveis energias que a partícula pode ter e sua distribuição espacial nesses estados.
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e profundidade
, simétrico em relação à posição
. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre e 0
.
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
e
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição tal que
, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
Considere uma partícula de massa
em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
onde
é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros e
que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância
e momento linear
.
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função deve satisfazer.
c) Para uma energia , determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda quando a variável
cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando
.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
a) A partir dos parâmetros
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função
c) Para uma energia
d) O que acontece com a curvatura da função de onda
e) Explique por que uma função de onda
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
onde
foi determinado em a) acima e faça
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função
e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
onde
h) Mostre que para
, temos
i) Mostre que
onde
é uma constante, é solução da equação (4) desde que
. Com isto temos que
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia
. Impondo a condição de normalização,
determine a constante
.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
e determine para qual valor de
será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
onde
é uma constante,
é um polinômio de grau
só com potências pares se
for par e só com potências ímpares se
for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em
de
em termos de
e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio
,
Escrevendo
com
, ou
com
, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia
, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta,
. Mostre que o coeficiente de
no lado esquerdo de (9) será igual a
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de
será igual a
. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
ou seja
Essa análise é valida tanto para
par quanto para
ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por
.