Considere uma partícula não-relativística de massa m que está sujeita a uma energia potencial V(r). Discuta que tipo de informação é obtida ao resolvermos
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que a gente descobre quando resolve as equações de Schrödinger, tanto a dependente do tempo quanto a independente do tempo, para uma partícula com massa numa energia potencial . Basicamente, estamos no campo da Mecânica Quântica e vamos precisar entender um pouco sobre as equações de Schrödinger e o que elas nos dizem sobre o comportamento das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a equação de Schrödinger dependente do tempo. Essa equação descreve como a função de onda da partícula, que contém toda a informação possível sobre o sistema quântico, evolui ao longo do tempo. A função de onda é geralmente representada por ihbar partial Psi(r, t)partial t = ( -hbar^22m nabla^2 + V(r) ) Psi(r, t) , onde é a posição e é o tempo.
A equação completa é:
Aqui, é a unidade imaginária, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o operador laplaciano, e é o potencial.
Resolvendo essa equação, a gente consegue saber exatamente como a função de onda muda com o tempo, o que nos dá a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer posição a qualquer instante . Ou seja, temos uma descrição completa do estado da partícula em todo o espaço e tempo.

Passo 3

Agora, vamos para a equação de Schrödinger independente do tempo. Essa versão simplificada da equação de Schrödinger é usada quando o potencial ( -hbar^22m nabla^2 + V(r) ) psi(r) = E psi(r) não depende do tempo, ou seja, é estático. A função de onda é separada em uma parte que depende apenas da posição e outra que depende apenas do tempo.
A equação fica assim:
Aqui, é a função de onda espacial e é a energia total da partícula.
Resolvendo essa equação, conseguimos os autovalores de energia e as respectivas funções de onda estacionárias . Essas soluções nos dizem os estados de energia fixa que a partícula pode assumir e como ela está distribuída no espaço nesses estados.

Resposta

Resumindo, ao resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos a evolução completa da função de onda da partícula ao longo do tempo, proporcionando uma descrição detalhada de como o estado quântico muda. Já ao resolver a equação independente do tempo, encontramos os estados estacionários e seus correspondentes níveis de energia, que são fundamentais para entender as possíveis energias que a partícula pode ter e sua distribuição espacial nesses estados.

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Considere um elétron em movimento unidimensional submetido ao poço de potencial com largura L e profundidade V0, simétrico em relação à posição x=0. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre -V0 e 0 ).
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
V0=4 pi^2 hbar^22 m L^2
e
L=5,29 nm
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição x tal que |x|>L / 2, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
Considere uma partícula de massa m em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
V(x)=m omega0^22 x^2
onde omega0 é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros m, omega0 e hbar que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância (l0) e momento linear (p0).
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função varphi(x) deve satisfazer.
c) Para uma energia E, determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda varphi(x) quando a variável x cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda varphi(x) que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando |x| infty.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
u=x / l0
onde l0 foi determinado em a) acima e faça
varphi(x)=phi(u)
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função phi(u) e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
-d^2 phid u^2(u)+u^2 phi(u)=2 epsilon phi(u)
onde
epsilon=Ehbar omega0
h) Mostre que para u>>1, epsilon, temos
phi(u) sim e^-u^2 / 2
i) Mostre que
phi0(u)=N0 e^-u^2 / 2
onde N0 é uma constante, é solução da equação (4) desde que epsilon=1 / 2. Com isto temos que
varphi0(x)=phi(x / l0)=N0 e^-x^2 /(2 l0^2)
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia E=hbar omega0 / 2. Impondo a condição de normalização,
integral-infty^infty|varphi0(x)|^2 d x=1
determine a constante N0.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
phi1(u)=N1 u e^-u^2 / 2
e determine para qual valor de epsilon, phi1(u) será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
phin(u)=Nn Hn(u) e^-u^2 / 2
onde Nn é uma constante, Hn(u) é um polinômio de grau n só com potências pares se n for par e só com potências ímpares se n for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em u de phin(u) em termos de Hn(u) e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio Hn,
-d^2 Hnd u^2+2 u d Hnd u+Hn=2 epsilon Hn
Escrevendo
Hn(u)=sumr=0, r^n ar u^r
com a0=1, ou
Hn(u)=sumr=1, r^n a impar u^r
com a1=1, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia epsilon, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta, u^n. Mostre que o coeficiente de u^n no lado esquerdo de (9) será igual a
2 n an+an
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de u^n será igual a 2 epsilon an. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
2 epsilon=2 n+1
ou seja
epsilon=n+1 / 2
Essa análise é valida tanto para n par quanto para n ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
En=hbar omega0(n+12), n=0,1,2,3, ldots
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por hbar omega0.