Considere uma partícula não-relativística de massa m que está sujeita a uma energia potencial V(r). Discuta que tipo de informação é obtida ao resolvermos
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que a gente descobre quando resolve as equações de Schrödinger, tanto a dependente do tempo quanto a independente do tempo, para uma partícula com massa numa energia potencial . Basicamente, estamos no campo da Mecânica Quântica e vamos precisar entender um pouco sobre as equações de Schrödinger e o que elas nos dizem sobre o comportamento das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a equação de Schrödinger dependente do tempo. Essa equação descreve como a função de onda da partícula, que contém toda a informação possível sobre o sistema quântico, evolui ao longo do tempo. A função de onda é geralmente representada por ihbar partial Psi(r, t)partial t = ( -hbar^22m nabla^2 + V(r) ) Psi(r, t) , onde é a posição e é o tempo.
A equação completa é:
Aqui, é a unidade imaginária, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o operador laplaciano, e é o potencial.
Resolvendo essa equação, a gente consegue saber exatamente como a função de onda muda com o tempo, o que nos dá a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer posição a qualquer instante . Ou seja, temos uma descrição completa do estado da partícula em todo o espaço e tempo.

Passo 3

Agora, vamos para a equação de Schrödinger independente do tempo. Essa versão simplificada da equação de Schrödinger é usada quando o potencial ( -hbar^22m nabla^2 + V(r) ) psi(r) = E psi(r) não depende do tempo, ou seja, é estático. A função de onda é separada em uma parte que depende apenas da posição e outra que depende apenas do tempo.
A equação fica assim:
Aqui, é a função de onda espacial e é a energia total da partícula.
Resolvendo essa equação, conseguimos os autovalores de energia e as respectivas funções de onda estacionárias . Essas soluções nos dizem os estados de energia fixa que a partícula pode assumir e como ela está distribuída no espaço nesses estados.

Resposta

Resumindo, ao resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos a evolução completa da função de onda da partícula ao longo do tempo, proporcionando uma descrição detalhada de como o estado quântico muda. Já ao resolver a equação independente do tempo, encontramos os estados estacionários e seus correspondentes níveis de energia, que são fundamentais para entender as possíveis energias que a partícula pode ter e sua distribuição espacial nesses estados.

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