Considere uma partícula não-relativística de massa
que está sujeita a uma energia potencial
. Discuta que tipo de informação é obtida ao resolvermos
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender o que a gente descobre quando resolve as equações de Schrödinger, tanto a dependente do tempo quanto a independente do tempo, para uma partícula com massa
numa energia potencial
. Basicamente, estamos no campo da Mecânica Quântica e vamos precisar entender um pouco sobre as equações de Schrödinger e o que elas nos dizem sobre o comportamento das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a equação de Schrödinger dependente do tempo. Essa equação descreve como a função de onda da partícula, que contém toda a informação possível sobre o sistema quântico, evolui ao longo do tempo. A função de onda é geralmente representada por
, onde
é a posição e
é o tempo.
A equação completa é:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o operador laplaciano, e
é o potencial.
Resolvendo essa equação, a gente consegue saber exatamente como a função de onda muda com o tempo, o que nos dá a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer posição
a qualquer instante
. Ou seja, temos uma descrição completa do estado da partícula em todo o espaço e tempo.
Passo 3
Agora, vamos para a equação de Schrödinger independente do tempo. Essa versão simplificada da equação de Schrödinger é usada quando o potencial
não depende do tempo, ou seja, é estático. A função de onda é separada em uma parte que depende apenas da posição e outra que depende apenas do tempo.
A equação fica assim:
Aqui,
é a função de onda espacial e
é a energia total da partícula.
Resolvendo essa equação, conseguimos os autovalores de energia
e as respectivas funções de onda estacionárias
. Essas soluções nos dizem os estados de energia fixa que a partícula pode assumir e como ela está distribuída no espaço nesses estados.
Resposta
Resumindo, ao resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos a evolução completa da função de onda da partícula ao longo do tempo, proporcionando uma descrição detalhada de como o estado quântico muda. Já ao resolver a equação independente do tempo, encontramos os estados estacionários e seus correspondentes níveis de energia, que são fundamentais para entender as possíveis energias que a partícula pode ter e sua distribuição espacial nesses estados.