Considere uma partícula de massa m em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
V(x)=m omega0^22 x^2
onde omega0 é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros m, omega0 e hbar que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância (l0) e momento linear (p0).
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função varphi(x) deve satisfazer.
c) Para uma energia E, determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda varphi(x) quando a variável x cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda varphi(x) que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando |x| infty.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
u=x / l0
onde l0 foi determinado em a) acima e faça
varphi(x)=phi(u)
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função phi(u) e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
-d^2 phid u^2(u)+u^2 phi(u)=2 epsilon phi(u)
onde
epsilon=Ehbar omega0
h) Mostre que para u>>1, epsilon, temos
phi(u) sim e^-u^2 / 2
i) Mostre que
phi0(u)=N0 e^-u^2 / 2
onde N0 é uma constante, é solução da equação (4) desde que epsilon=1 / 2. Com isto temos que
varphi0(x)=phi(x / l0)=N0 e^-x^2 /(2 l0^2)
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia E=hbar omega0 / 2. Impondo a condição de normalização,
integral-infty^infty|varphi0(x)|^2 d x=1
determine a constante N0.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
phi1(u)=N1 u e^-u^2 / 2
e determine para qual valor de epsilon, phi1(u) será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
phin(u)=Nn Hn(u) e^-u^2 / 2
onde Nn é uma constante, Hn(u) é um polinômio de grau n só com potências pares se n for par e só com potências ímpares se n for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em u de phin(u) em termos de Hn(u) e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio Hn,
-d^2 Hnd u^2+2 u d Hnd u+Hn=2 epsilon Hn
Escrevendo
Hn(u)=sumr=0, r^n ar u^r
com a0=1, ou
Hn(u)=sumr=1, r^n a impar u^r
com a1=1, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia epsilon, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta, u^n. Mostre que o coeficiente de u^n no lado esquerdo de (9) será igual a
2 n an+an
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de u^n será igual a 2 epsilon an. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
2 epsilon=2 n+1
ou seja
epsilon=n+1 / 2
Essa análise é valida tanto para n par quanto para n ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
En=hbar omega0(n+12), n=0,1,2,3, ldots
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por hbar omega0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um oscilador harmônico quântico, que é um modelo fundamental na mecânica quântica. A partícula tem uma massa V(x) = m omega0^22 x^2 e está sujeita a um potencial parabólico dado por:
Aqui, é a frequência angular natural de oscilação. Para resolver a parte a), precisamos determinar os valores típicos de energia, a distância característica e o momento linear usando os parâmetros , e (a constante de Planck reduzida).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em mecânica quântica, especialmente para o oscilador harmônico, há certas quantidades características que nos ajudam a descrever o sistema. Essas quantidades são:
  1. Energia Típica ( ): Representa a escala de energia do sistema.
  2. Distância Típica ( ): É a escala de comprimento que descreve a “largura” da função de onda da partícula.
  3. Momento Linear Típico ( ): Escala para o momento da partícula.
Vamos derivar cada uma delas.

Passo 3

Energia Típica ( E0 = hbar omega0 )
A energia característica do oscilador harmônico quântico está relacionada à frequência angular e à constante de Planck reduzida :
Isso nos dá uma ideia de quanta energia está envolvida nas oscilações do sistema.

Passo 4

Distância Típica ( l0 = raizhbarm omega0 )
A distância característica é dada por:
Essa expressão combina a constante de Planck reduzida, a massa da partícula e a frequência angular para nos dar uma escala de comprimento relevante para o sistema.

Passo 5

Momento Linear Típico ( p0 = raizm hbar omega0 )
O momento linear característico pode ser encontrado usando a relação de incerteza de Heisenberg ou diretamente a partir de :
Essa quantidade nos dá uma ideia do momento típico que a partícula possui devido às suas oscilações quânticas.

Passo 6

Então, resumindo, os valores típicos são:
E0 = hbar omega0
l0 = raizhbarm omega0
p0 = raizm hbar omega0

Resposta

Os valores típicos para o oscilador harmônico quântico são:
  • Energia Típica:
  • Distância Característica:
  • Momento Linear Típico:
Essas quantidades descrevem as escalas de energia, comprimento e momento relevantes para o sistema.

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