Considere uma partícula de massa
em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
onde
é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros
e
que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância
e momento linear
.
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função
deve satisfazer.
c) Para uma energia
, determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda
quando a variável
cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda
que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando
.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
onde
foi determinado em a) acima e faça
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função
e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
onde
h) Mostre que para
, temos
i) Mostre que
onde
é uma constante, é solução da equação (4) desde que
. Com isto temos que
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia
. Impondo a condição de normalização,
determine a constante
.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
e determine para qual valor de
será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
onde
é uma constante,
é um polinômio de grau
só com potências pares se
for par e só com potências ímpares se
for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em
de
em termos de
e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio
,
Escrevendo
com
, ou
com
, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia
, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta,
. Mostre que o coeficiente de
no lado esquerdo de (9) será igual a
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de
será igual a
. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
ou seja
Essa análise é valida tanto para
par quanto para
ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por
.
a) A partir dos parâmetros
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função
c) Para uma energia
d) O que acontece com a curvatura da função de onda
e) Explique por que uma função de onda
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um oscilador harmônico quântico, que é um modelo fundamental na mecânica quântica. A partícula tem uma massa
e está sujeita a um potencial parabólico dado por:
Aqui,
é a frequência angular natural de oscilação. Para resolver a parte a), precisamos determinar os valores típicos de energia, a distância característica
e o momento linear
usando os parâmetros
,
e
(a constante de Planck reduzida).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em mecânica quântica, especialmente para o oscilador harmônico, há certas quantidades características que nos ajudam a descrever o sistema. Essas quantidades são:
- Energia Típica (
): Representa a escala de energia do sistema. - Distância Típica (
): É a escala de comprimento que descreve a “largura” da função de onda da partícula. - Momento Linear Típico (
): Escala para o momento da partícula.
Vamos derivar cada uma delas.
Passo 3
Energia Típica (
)
A energia característica do oscilador harmônico quântico está relacionada à frequência angular
e à constante de Planck reduzida
:
Isso nos dá uma ideia de quanta energia está envolvida nas oscilações do sistema.
Passo 4
Distância Típica (
)
A distância característica
é dada por:
Essa expressão combina a constante de Planck reduzida, a massa da partícula e a frequência angular para nos dar uma escala de comprimento relevante para o sistema.
Passo 5
Momento Linear Típico (
)
O momento linear característico
pode ser encontrado usando a relação de incerteza de Heisenberg ou diretamente a partir de
:
Essa quantidade nos dá uma ideia do momento típico que a partícula possui devido às suas oscilações quânticas.
Passo 6
Então, resumindo, os valores típicos são:
Resposta
Os valores típicos para o oscilador harmônico quântico são:
- Energia Típica:
- Distância Característica:
- Momento Linear Típico:
Essas quantidades descrevem as escalas de energia, comprimento e momento relevantes para o sistema.
Exercícios relacionados
Considere um elétron em movimento unidimensional submetido ao poço de potencial com largura
e profundidade
, simétrico em relação à posição
. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre e 0
.
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
e
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição tal que
, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
Considere uma partícula não-relativística de massa
que está sujeita a uma energia potencial
. Discuta que tipo de informação é obtida ao resolvermos
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
a) uma massa
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
Derive.
.