Considere um elétron em movimento unidimensional submetido ao poço de potencial com largura L e profundidade V0, simétrico em relação à posição x=0. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre -V0 e 0 ).
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
V0=4 pi^2 hbar^22 m L^2
e
L=5,29 nm
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição x tal que |x|>L / 2, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um elétron se movendo em uma dimensão dentro de um poço de potencial simétrico com largura e profundidade . A pergunta quer que a gente investigue os estados ligados ímpares, ou seja, estados onde a energia do elétron tá entre e . Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre quantização de energia em poços de potencial, especialmente para estados ímpares. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a) Condição para haver pelo menos um estado excitado ligado

Primeiro, vamos entender o que significa ter pelo menos um estado excitado ligado. Isso quer dizer que existe pelo menos um nível de energia onde o elétron está preso no poço, mas com energia maior do que o fundo do poço ( kL = pi ).
Para isso acontecer, precisamos que a profundidade e a largura do poço sejam tais que permitam a existência de pelo menos um estado quantizado. A condição básica para que haja estados ligados é que a largura e a profundidade do poço sejam suficientes para “acaparar” o elétron.
Matematicamente, para um estado ímpar (excitado), a condição é que a integral da função de onda ao quadrado dentro do poço seja igual a 1, garantindo a normalização. Mas, de forma mais simples, podemos usar a condição de quantização:
Onde
Para haver pelo menos um estado excitado, essa condição precisa ser satisfeita para o primeiro estado ímpar.

Passo 3

Parte b) Energia do primeiro estado excitado

Agora, vamos calcular a energia do primeiro estado excitado quando:
V0 = 4 pi^2 hbar^22 m L^2
L = 5,29 , nm
Primeiro, substituímos os valores na equação de V0 = 4 pi^2 hbar^22 m L^2 :
V0 = 2 pi^2 hbar^2m L^2
Isso simplifica para:
E = -V0 cos^2(kL2)
Para encontrar a energia do primeiro estado excitar, usamos a relação de energia quantizada para estados ímpares:
E = -V0 cos^2(pi2) = -V0 times 0 = 0
Substituindo , temos:
Mas, na verdade, o primeiro estado excitado ímpar terá energia ligeiramente abaixo de zero, indicando que está ligado. Para obter graficamente, plotamos a energia em função de e identificamos o ponto onde a condição de quantização é satisfeita.

Passo 4

Parte c) Probabilidade do elétron estar fora do poço

Queremos calcular a probabilidade de encontrar o elétron no primeiro estado excitado em uma posição P = integral|x| > L/2 |psi(x)|^2 dx tal que P = 2 integralL/2^infty A^2 e^-2kappa x dx = A^2 e^-kappa Lkappa , ou seja, fora do poço.
A função de onda para um estado ligado exponencialmente decai fora do poço. A probabilidade é dada pela integral do quadrado da função de onda fora do poço:
Como a função de onda fora do poço é , onde , a probabilidade fica:
Após calcular a constante de normalização , substituímos e obtemos a probabilidade desejada.

Passo 5

Parte d) Número de estados ligados para um próton

Agora, vamos ver quantos estados ligados existiriam se a partícula fosse um próton em vez de um elétron, mantendo a mesma largura k = raiz2m(E + V0)hbar^2 e profundidade .
A energia dos estados ligados depende da massa da partícula. Como o próton tem uma massa muito maior que o elétron ( ), a constante fica menor:
Com uma massa maior, diminui, o que significa que menos estados quantizados cabem dentro do poço. Portanto, o número de estados ligados (pares e ímpares) será menor para o próton comparado ao elétron.

Resposta

A) A condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial é que a largura e a profundidade do poço sejam suficientes para suportar pelo menos um nível de energia ímpar quantizado dentro do intervalo .

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