Considere um elétron em movimento unidimensional submetido ao poço de potencial com largura
e profundidade
, simétrico em relação à posição
. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre
e 0
.
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
e
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição
tal que
, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um elétron se movendo em uma dimensão dentro de um poço de potencial simétrico com largura
e profundidade
. A pergunta quer que a gente investigue os estados ligados ímpares, ou seja, estados onde a energia do elétron tá entre
e
. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre quantização de energia em poços de potencial, especialmente para estados ímpares. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte a) Condição para haver pelo menos um estado excitado ligado
Primeiro, vamos entender o que significa ter pelo menos um estado excitado ligado. Isso quer dizer que existe pelo menos um nível de energia onde o elétron está preso no poço, mas com energia maior do que o fundo do poço (
).
Para isso acontecer, precisamos que a profundidade e a largura do poço sejam tais que permitam a existência de pelo menos um estado quantizado. A condição básica para que haja estados ligados é que a largura e a profundidade do poço sejam suficientes para “acaparar” o elétron.
Matematicamente, para um estado ímpar (excitado), a condição é que a integral da função de onda ao quadrado dentro do poço seja igual a 1, garantindo a normalização. Mas, de forma mais simples, podemos usar a condição de quantização:
Onde
Para haver pelo menos um estado excitado, essa condição precisa ser satisfeita para o primeiro estado ímpar.
Passo 3
Parte b) Energia do primeiro estado excitado
Agora, vamos calcular a energia do primeiro estado excitado quando:
Primeiro, substituímos os valores na equação de
:
Isso simplifica para:
Para encontrar a energia do primeiro estado excitar, usamos a relação de energia quantizada para estados ímpares:
Substituindo
, temos:
Mas, na verdade, o primeiro estado excitado ímpar terá energia ligeiramente abaixo de zero, indicando que está ligado. Para obter graficamente, plotamos a energia em função de
e identificamos o ponto onde a condição de quantização é satisfeita.
Passo 4
Parte c) Probabilidade do elétron estar fora do poço
Queremos calcular a probabilidade de encontrar o elétron no primeiro estado excitado em uma posição
tal que
, ou seja, fora do poço.
A função de onda para um estado ligado exponencialmente decai fora do poço. A probabilidade é dada pela integral do quadrado da função de onda fora do poço:
Como a função de onda fora do poço é
, onde
, a probabilidade fica:
Após calcular a constante de normalização
, substituímos e obtemos a probabilidade desejada.
Passo 5
Parte d) Número de estados ligados para um próton
Agora, vamos ver quantos estados ligados existiriam se a partícula fosse um próton em vez de um elétron, mantendo a mesma largura
e profundidade
.
A energia dos estados ligados depende da massa da partícula. Como o próton tem uma massa muito maior que o elétron (
), a constante
fica menor:
Com uma massa maior,
diminui, o que significa que menos estados quantizados cabem dentro do poço. Portanto, o número de estados ligados (pares e ímpares) será menor para o próton comparado ao elétron.
Resposta
A) A condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial é que a largura
e a profundidade
do poço sejam suficientes para suportar pelo menos um nível de energia ímpar quantizado dentro do intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere uma partícula não-relativística de massa
que está sujeita a uma energia potencial
. Discuta que tipo de informação é obtida ao resolvermos
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
Explique o ciclo de Carnot destacando as características físicas de cada etapa do processo.
Considere uma partícula de massa
em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
onde
é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros e
que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância
e momento linear
.
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função deve satisfazer.
c) Para uma energia , determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda quando a variável
cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando
.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
a) A partir dos parâmetros
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função
c) Para uma energia
d) O que acontece com a curvatura da função de onda
e) Explique por que uma função de onda
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
onde
foi determinado em a) acima e faça
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função
e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
onde
h) Mostre que para
, temos
i) Mostre que
onde
é uma constante, é solução da equação (4) desde que
. Com isto temos que
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia
. Impondo a condição de normalização,
determine a constante
.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
e determine para qual valor de
será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
onde
é uma constante,
é um polinômio de grau
só com potências pares se
for par e só com potências ímpares se
for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em
de
em termos de
e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio
,
Escrevendo
com
, ou
com
, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia
, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta,
. Mostre que o coeficiente de
no lado esquerdo de (9) será igual a
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de
será igual a
. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
ou seja
Essa análise é valida tanto para
par quanto para
ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por
.
Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
a) uma massa
b) um poço profundo;
c) um poço largo.