Considere um elétron em movimento unidimensional submetido ao poço de potencial com largura L e profundidade V0, simétrico em relação à posição x=0. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre -V0 e 0 ).
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
V0=4 pi^2 hbar^22 m L^2
e
L=5,29 nm
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição x tal que |x|>L / 2, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um elétron se movendo em uma dimensão dentro de um poço de potencial simétrico com largura e profundidade . A pergunta quer que a gente investigue os estados ligados ímpares, ou seja, estados onde a energia do elétron tá entre e . Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre quantização de energia em poços de potencial, especialmente para estados ímpares. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a) Condição para haver pelo menos um estado excitado ligado

Primeiro, vamos entender o que significa ter pelo menos um estado excitado ligado. Isso quer dizer que existe pelo menos um nível de energia onde o elétron está preso no poço, mas com energia maior do que o fundo do poço ( kL = pi ).
Para isso acontecer, precisamos que a profundidade e a largura do poço sejam tais que permitam a existência de pelo menos um estado quantizado. A condição básica para que haja estados ligados é que a largura e a profundidade do poço sejam suficientes para “acaparar” o elétron.
Matematicamente, para um estado ímpar (excitado), a condição é que a integral da função de onda ao quadrado dentro do poço seja igual a 1, garantindo a normalização. Mas, de forma mais simples, podemos usar a condição de quantização:
Onde
Para haver pelo menos um estado excitado, essa condição precisa ser satisfeita para o primeiro estado ímpar.

Passo 3

Parte b) Energia do primeiro estado excitado

Agora, vamos calcular a energia do primeiro estado excitado quando:
V0 = 4 pi^2 hbar^22 m L^2
L = 5,29 , nm
Primeiro, substituímos os valores na equação de V0 = 4 pi^2 hbar^22 m L^2 :
V0 = 2 pi^2 hbar^2m L^2
Isso simplifica para:
E = -V0 cos^2(kL2)
Para encontrar a energia do primeiro estado excitar, usamos a relação de energia quantizada para estados ímpares:
E = -V0 cos^2(pi2) = -V0 times 0 = 0
Substituindo , temos:
Mas, na verdade, o primeiro estado excitado ímpar terá energia ligeiramente abaixo de zero, indicando que está ligado. Para obter graficamente, plotamos a energia em função de e identificamos o ponto onde a condição de quantização é satisfeita.

Passo 4

Parte c) Probabilidade do elétron estar fora do poço

Queremos calcular a probabilidade de encontrar o elétron no primeiro estado excitado em uma posição P = integral|x| > L/2 |psi(x)|^2 dx tal que P = 2 integralL/2^infty A^2 e^-2kappa x dx = A^2 e^-kappa Lkappa , ou seja, fora do poço.
A função de onda para um estado ligado exponencialmente decai fora do poço. A probabilidade é dada pela integral do quadrado da função de onda fora do poço:
Como a função de onda fora do poço é , onde , a probabilidade fica:
Após calcular a constante de normalização , substituímos e obtemos a probabilidade desejada.

Passo 5

Parte d) Número de estados ligados para um próton

Agora, vamos ver quantos estados ligados existiriam se a partícula fosse um próton em vez de um elétron, mantendo a mesma largura k = raiz2m(E + V0)hbar^2 e profundidade .
A energia dos estados ligados depende da massa da partícula. Como o próton tem uma massa muito maior que o elétron ( ), a constante fica menor:
Com uma massa maior, diminui, o que significa que menos estados quantizados cabem dentro do poço. Portanto, o número de estados ligados (pares e ímpares) será menor para o próton comparado ao elétron.

Resposta

A) A condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial é que a largura e a profundidade do poço sejam suficientes para suportar pelo menos um nível de energia ímpar quantizado dentro do intervalo .

Exercícios relacionados

Considere uma partícula não-relativística de massa m que está sujeita a uma energia potencial V(r). Discuta que tipo de informação é obtida ao resolvermos
a) a equação de Schrödinger dependente do tempo;
b) a equação de Schrödinger independente do tempo.
Explique o ciclo de Carnot destacando as características físicas de cada etapa do processo.
Considere uma partícula de massa m em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
V(x)=m omega0^22 x^2
onde omega0 é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros m, omega0 e hbar que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância (l0) e momento linear (p0).
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função varphi(x) deve satisfazer.
c) Para uma energia E, determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda varphi(x) quando a variável x cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda varphi(x) que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando |x| infty.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
u=x / l0
onde l0 foi determinado em a) acima e faça
varphi(x)=phi(u)
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função phi(u) e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
-d^2 phid u^2(u)+u^2 phi(u)=2 epsilon phi(u)
onde
epsilon=Ehbar omega0
h) Mostre que para u>>1, epsilon, temos
phi(u) sim e^-u^2 / 2
i) Mostre que
phi0(u)=N0 e^-u^2 / 2
onde N0 é uma constante, é solução da equação (4) desde que epsilon=1 / 2. Com isto temos que
varphi0(x)=phi(x / l0)=N0 e^-x^2 /(2 l0^2)
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia E=hbar omega0 / 2. Impondo a condição de normalização,
integral-infty^infty|varphi0(x)|^2 d x=1
determine a constante N0.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
phi1(u)=N1 u e^-u^2 / 2
e determine para qual valor de epsilon, phi1(u) será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
phin(u)=Nn Hn(u) e^-u^2 / 2
onde Nn é uma constante, Hn(u) é um polinômio de grau n só com potências pares se n for par e só com potências ímpares se n for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em u de phin(u) em termos de Hn(u) e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio Hn,
-d^2 Hnd u^2+2 u d Hnd u+Hn=2 epsilon Hn
Escrevendo
Hn(u)=sumr=0, r^n ar u^r
com a0=1, ou
Hn(u)=sumr=1, r^n a impar u^r
com a1=1, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia epsilon, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta, u^n. Mostre que o coeficiente de u^n no lado esquerdo de (9) será igual a
2 n an+an
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de u^n será igual a 2 epsilon an. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
2 epsilon=2 n+1
ou seja
epsilon=n+1 / 2
Essa análise é valida tanto para n par quanto para n ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
En=hbar omega0(n+12), n=0,1,2,3, ldots
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por hbar omega0.
Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa m grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.