Considere um elétron em movimento unidimensional submetido ao poço de potencial com largura
e profundidade
, simétrico em relação à posição
. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre
e 0
.
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
e
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição
tal que
, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um elétron se movendo em uma dimensão dentro de um poço de potencial simétrico com largura
e profundidade
. A pergunta quer que a gente investigue os estados ligados ímpares, ou seja, estados onde a energia do elétron tá entre
e
. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre quantização de energia em poços de potencial, especialmente para estados ímpares. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte a) Condição para haver pelo menos um estado excitado ligado
Primeiro, vamos entender o que significa ter pelo menos um estado excitado ligado. Isso quer dizer que existe pelo menos um nível de energia onde o elétron está preso no poço, mas com energia maior do que o fundo do poço (
).
Para isso acontecer, precisamos que a profundidade e a largura do poço sejam tais que permitam a existência de pelo menos um estado quantizado. A condição básica para que haja estados ligados é que a largura e a profundidade do poço sejam suficientes para “acaparar” o elétron.
Matematicamente, para um estado ímpar (excitado), a condição é que a integral da função de onda ao quadrado dentro do poço seja igual a 1, garantindo a normalização. Mas, de forma mais simples, podemos usar a condição de quantização:
Onde
Para haver pelo menos um estado excitado, essa condição precisa ser satisfeita para o primeiro estado ímpar.
Passo 3
Parte b) Energia do primeiro estado excitado
Agora, vamos calcular a energia do primeiro estado excitado quando:
Primeiro, substituímos os valores na equação de
:
Isso simplifica para:
Para encontrar a energia do primeiro estado excitar, usamos a relação de energia quantizada para estados ímpares:
Substituindo
, temos:
Mas, na verdade, o primeiro estado excitado ímpar terá energia ligeiramente abaixo de zero, indicando que está ligado. Para obter graficamente, plotamos a energia em função de
e identificamos o ponto onde a condição de quantização é satisfeita.
Passo 4
Parte c) Probabilidade do elétron estar fora do poço
Queremos calcular a probabilidade de encontrar o elétron no primeiro estado excitado em uma posição
tal que
, ou seja, fora do poço.
A função de onda para um estado ligado exponencialmente decai fora do poço. A probabilidade é dada pela integral do quadrado da função de onda fora do poço:
Como a função de onda fora do poço é
, onde
, a probabilidade fica:
Após calcular a constante de normalização
, substituímos e obtemos a probabilidade desejada.
Passo 5
Parte d) Número de estados ligados para um próton
Agora, vamos ver quantos estados ligados existiriam se a partícula fosse um próton em vez de um elétron, mantendo a mesma largura
e profundidade
.
A energia dos estados ligados depende da massa da partícula. Como o próton tem uma massa muito maior que o elétron (
), a constante
fica menor:
Com uma massa maior,
diminui, o que significa que menos estados quantizados cabem dentro do poço. Portanto, o número de estados ligados (pares e ímpares) será menor para o próton comparado ao elétron.
Resposta
A) A condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial é que a largura
e a profundidade
do poço sejam suficientes para suportar pelo menos um nível de energia ímpar quantizado dentro do intervalo
.