Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura L=0,6 cm, área da base A=160 cm^2 e condutividade térmica k=60 W / m K. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede 112^circ C. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
Obtenha a relação para a variação de temperatura na placa da base de ferro resolvendo a equação diferencial;
Resp: T(x)=1250(0,006-x)( ^circ C / m)+112 ^circ C

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa da base de um ferro de passar com potência de 1200 W, espessura de 0,6 cm, área de 160 cm² e condutividade térmica de 60 W/(m·K). A temperatura na superfície externa da placa é de 112°C em condições de operação permanente. A pergunta quer que a gente encontre a relação que mostra como a temperatura varia dentro da placa.
Para resolver isso, vamos usar condução de calor, que é o processo pelo qual o calor se transfere através de materiais sólidos. Precisamos aplicar a Lei de Fourier da condução de calor para encontrar como a temperatura muda ao longo da espessura da placa.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Espessura
  • Área

Passo 3

A Lei de Fourier para condução de calor em regime permanente (sem variação no tempo) em uma dimensão é dada por:
d^2 Tdx^2 = 0
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero, o que implica que a temperatura varia linearmente ao longo da espessura da placa.

Passo 4

Integrando a equação diferencial, temos:
dTdx = C1
Onde T(x) = C1 x + C2 é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui, é outra constante de integração. Agora, precisamos encontrar os valores de e usando as condições de contorno.

Passo 5

Sabemos que na superfície externa ( 112 = C1 cdot 0,006 + C2 ), a temperatura é q = PA = 12000,016 = 75000 , W/m^2 . Vamos usar essa condição para encontrar :
Precisamos de mais uma condição para resolver as duas constantes. A outra condição é que o fluxo de calor através da placa é constante e igual à potência do ferro dividida pela área:

Passo 6

O fluxo de calor também pode ser expresso pela Lei de Fourier:
q = -k dTdx
Substituindo os valores:
75000 = -60 cdot C1
Resolvendo para C1 = -7500060 = -1250 , °C/m :

Passo 7

Agora, substituímos 112 = -1250 cdot 0,006 + C2 na equação da temperatura:
112 = -7,5 + C2
C2 = 112 + 7,5 = 119,5 , °C
Aproximando para uma notação mais simples, podemos escrever como 112°C, considerando a variação linear.

Resposta

A relação para a variação de temperatura na placa da base do ferro é:
T(x) = 1250 (0,006 - x) , ,^circCm + 112 ,^circC

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