Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura
, área da base
e condutividade térmica
. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede
. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
Obtenha a relação para a variação de temperatura na placa da base de ferro resolvendo a equação diferencial;
Resp:
Obtenha a relação para a variação de temperatura na placa da base de ferro resolvendo a equação diferencial;
Resp:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa da base de um ferro de passar com potência de 1200 W, espessura de 0,6 cm, área de 160 cm² e condutividade térmica de 60 W/(m·K). A temperatura na superfície externa da placa é de 112°C em condições de operação permanente. A pergunta quer que a gente encontre a relação que mostra como a temperatura varia dentro da placa.
Para resolver isso, vamos usar condução de calor, que é o processo pelo qual o calor se transfere através de materiais sólidos. Precisamos aplicar a Lei de Fourier da condução de calor para encontrar como a temperatura muda ao longo da espessura da placa.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
- Espessura
- Área
Passo 3
A Lei de Fourier para condução de calor em regime permanente (sem variação no tempo) em uma dimensão é dada por:
Isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação à posição
é zero, o que implica que a temperatura varia linearmente ao longo da espessura da placa.
Passo 4
Integrando a equação diferencial, temos:
Onde
é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui,
é outra constante de integração. Agora, precisamos encontrar os valores de
e
usando as condições de contorno.
Passo 5
Sabemos que na superfície externa (
), a temperatura é
. Vamos usar essa condição para encontrar
:
Precisamos de mais uma condição para resolver as duas constantes. A outra condição é que o fluxo de calor através da placa é constante e igual à potência do ferro dividida pela área:
Passo 6
O fluxo de calor também pode ser expresso pela Lei de Fourier:
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação da temperatura:
Aproximando para uma notação mais simples, podemos escrever
como 112°C, considerando a variação linear.
Resposta
A relação para a variação de temperatura na placa da base do ferro é:
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