Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, em um cilindro oco com condutividade térmica constante na região a <= r <= b. Gera-se calor no cilindro a uma taxa de go W / m 3, enquanto se dissipa calor por convecção para correntes fluidas no interior e no exterior do tubo cilíndrico. Os coeficientes de transferência de calor para os fluidos, no interior e no exterior, são ha e hb, respectivamente, e as temperaturas dos fluidos no interior e no exterior são Ta e Tb, respectivamente. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco onde o calor está sendo conduzido de forma estacionária e unidimensional. O conteúdo da matéria aqui é condução de calor. Para resolver, a gente vai precisar usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerar a geração de calor interna e as condições de contorno por convecção nos limites internos e externos do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de condução de calor para estado estacionário em coordenadas cilíndricas, sem dependência angular ou axial:
1r ddr( r dTdr ) + q'''k = 0
Aqui:
  • é a temperatura,
  • é a coordenada radial,
  • é a taxa de geração de calor interna,
  • é a condutividade térmica.

Passo 3

Como o calor é gerado uniformemente no cilindro, a termo d^2Tdr^2 + 1r dTdr + q'''k = 0 representa essa geração de calor por unidade de volume. A equação simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos considerar as condições de contorno. No interior do cilindro ( - k dTdr |r=a = ha ( T(a) - Ta ) ) e no exterior ( - k dTdr |r=b = hb ( T(b) - Tb ) ), o calor é dissipado por convecção. A transferência de calor por convecção é dada pela lei de Newton do resfriamento:
Aqui:
  • e são os coeficientes de transferência de calor por convecção no interior e exterior,
  • e são as temperaturas dos fluidos no interior e exterior.

Passo 5

Então, resumindo, a formulação matemática do problema inclui a equação diferencial de condução de calor com geração interna e as condições de contorno por convecção nos limites d^2Tdr^2 + 1r dTdr + q'''k = 0 para a <= r <= b e - k dTdr |r=a = ha ( T(a) - Ta ) :
Equação Diferencial:
- k dTdr |r=b = hb ( T(b) - Tb )
Condições de Contorno:

Resposta

A formulação matemática do problema de condução de calor no cilindro oco é dada pela equação diferencial
d^2Tdr^2 + 1r dTdr + q'''k = 0 para a <= r <= b
acrescida das condições de contorno por convecção nos limites - k dTdr |r=a = ha ( T(a) - Ta ) e - k dTdr |r=b = hb ( T(b) - Tb ) :

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