Considere a condução de calor estacionaria, unidimensional, em um cilindro oco com condutividade térmica constante na região . Gera-se calor no cilindro a uma taxa de go , enquanto se dissipa calor por convecção para correntes fluidas no interior e no exterior do tubo cilíndrico. Os coeficientes de transferência de calor para os fluidos, no interior e no exterior, são e , respectivamente, e as temperaturas dos fluidos no interior e no exterior são , respectivamente. Escreva a formulação matemática deste problema de condução de calor.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco onde o calor está sendo conduzido de forma estacionária e unidimensional. O conteúdo da matéria aqui é condução de calor. Para resolver, a gente vai precisar usar a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerar a geração de calor interna e as condições de contorno por convecção nos limites internos e externos do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de condução de calor para estado estacionário em coordenadas cilíndricas, sem dependência angular ou axial:
Aqui:
é a temperatura,
é a coordenada radial,
é a taxa de geração de calor interna,
é a condutividade térmica.
Passo 3
Como o calor é gerado uniformemente no cilindro, a termo representa essa geração de calor por unidade de volume. A equação simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos considerar as condições de contorno. No interior do cilindro () e no exterior (), o calor é dissipado por convecção. A transferência de calor por convecção é dada pela lei de Newton do resfriamento:
Aqui:
e são os coeficientes de transferência de calor por convecção no interior e exterior,
e são as temperaturas dos fluidos no interior e exterior.
Passo 5
Então, resumindo, a formulação matemática do problema inclui a equação diferencial de condução de calor com geração interna e as condições de contorno por convecção nos limites e :
Equação Diferencial:
Condições de Contorno:
Resposta
A formulação matemática do problema de condução de calor no cilindro oco é dada pela equação diferencial
acrescida das condições de contorno por convecção nos limites e :