Considere uma placa de metal de espessura L=0,03 m e área da base 1,2 m^2, com temperatura da superfície interna em x=0 de T=74^circ C. A superfície externa está exposta ao ar ambiente com Tinfty=23^circ C e coeficiente de transferência de calor por convecção h=12 W / m^2 ^circ C. Sabendo que a condutividade térmica do metal é k=32 W / m^circ C, calcule a temperatura na superfície externa. Resposta: 73,4^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A situação é a seguinte: temos uma placa de metal com uma certa espessura e área, e sabemos as temperaturas nas duas superfícies dela. A gente quer descobrir qual é a temperatura na superfície externa. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e convecção. Vamos precisar das fórmulas para transferência de calor por condução e por convecção, além de entender como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre condução de calor. Quando há uma diferença de temperatura através de um material, o calor flui de uma região mais quente para uma mais fria. A quantidade de calor transferida por condução é dada pela fórmula:
qcond = k cdot A cdot (Tin - Tout)L
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor por condução (W)
  • é a condutividade térmica do material (W/m°C)
  • é a área da superfície (m²)
  • é a temperatura interna (°C)
  • é a temperatura externa que queremos encontrar (°C)
  • é a espessura da placa (m)

Passo 3

Agora, vamos considerar a convecção na superfície externa. A transferência de calor por convecção é a quantidade de calor que passa do metal para o ar ambiente. A fórmula para isso é:
qconv = h cdot A cdot (Tout - Tinfty)
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor por convecção (W)
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m²°C)
  • é a área da superfície (m²)
  • é a temperatura externa (°C)
  • é a temperatura do ar ambiente (°C)

Passo 4

No estado estacionário, a quantidade de calor que entra pela condução deve ser igual à quantidade que sai pela convecção. Então, podemos igualar as duas equações:
k cdot A cdot (Tin - Tout)L = h cdot A cdot (Tout - Tinfty)
Podemos simplificar cancelando a área k cdot (Tin - Tout)L = h cdot (Tout - Tinfty) dos dois lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar k cdot Tin - k cdot Tout = h cdot L cdot Tout - h cdot L cdot Tinfty . Primeiro, distribuímos os termos:
k cdot Tin + h cdot L cdot Tinfty = (k + h cdot L) cdot Tout
Vamos reunir os termos com Tout = k cdot Tin + h cdot L cdot Tinftyk + h cdot L de um lado:
E isolamos :

Passo 6

Vamos agora substituir os valores fornecidos no problema:
  • Tout = 32 cdot 74 + 12 cdot 0,03 cdot 2332 + 12 cdot 0,03
  • 32 cdot 74 = 2368
  • 12 cdot 0,03 = 0,36 ²
  • 0,36 cdot 23 = 8,28
  • 2368 + 8,28 = 2376,28
Substituindo na fórmula:
32 + 0,36 = 32,36
Calculando passo a passo:
Tout = 2376,2832,36 approx 73,4°C

Resposta

A temperatura na superfície externa da placa de metal é aproximadamente .

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