A superfície externa de um fio elétrico cilíndrico de 5 m de comprimento e 5 mm de diâmetro está a uma temperatura de 125^circ C. O fio é recoberto por um isolante plástico de 2 mm de espessura e condutividade térmica k=0,2 W / m^circ C. Esse sistema troca calor por convecção com o ar que o circunda. (a) Calcule a taxa de transferência de calor radial do centro do fio para o ar. (b) Considere agora que o isolante possui 4 mm de espessura. Calcule a nova taxa de transferência de calor. © A transferência aumentou ou diminuiu com o aumento da espessura do isolante? Isso faz sentido? Explique observando o comportamento das resistências de convecção e de condução em função da espessura do isolante. Dados: coeficiente de transferência de calor por convecção com o ar h=12 W / m^2 ^circ C. Temperatura do ar Tinfty=30^circ C. Desconsidere a troca de calor por radiação. Resposta: (a) 139 W (b) 169 W .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a transferência de calor em um fio elétrico cilíndrico com isolamento. A gente vai usar conceitos de condução e convecção de calor para calcular quanto calor está sendo transferido do centro do fio para o ar ao redor. Precisamos saber as propriedades do material isolante, as dimensões do fio e os coeficientes de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos um fio cilíndrico com determinado diâmetro e comprimento, recoberto por um isolante plástico. A temperatura na superfície externa do fio é de e o ar ao redor está a . O isolamento tem uma espessura inicial de 2 mm e depois consideraremos 4 mm. Queremos calcular a taxa de transferência de calor radial.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de transferência de calor usando a fórmula de condução para uma superfície cilíndrica seguida da fórmula de convecção. A taxa total de transferência de calor 1Q = 1Qcond + 1Qconv pode ser encontrada usando a fórmula:
Mas, de forma simplificada, para transferência em estado estacionário, podemos combinar as resistências térmicas de condução e convecção.

Passo 4

Para condução no isolante, a resistência térmica é:
Rcond = ln(r2r1)2pi L k
Onde:
  • Rconv = 1h cdot 2pi r2 L é o raio do fio
  • é o raio externo do isolante
  • é o comprimento do fio
  • é a condutividade térmica do isolante
Para convecção no ar, a resistência térmica é:

Passo 5

A taxa de transferência de calor Q = T1 - TinftyRcond + Rconv é dada por:
Onde:
  • é a temperatura na superfície externa do isolamento
  • é a temperatura do ar

Passo 6

Vamos organizar os dados:
  • Comprimento
  • Diâmetro do fio
  • Espessura do isolante (para a parte a)
  • Condutividade térmica
  • Coeficiente de convecção ²
  • ,

Passo 7

Para a parte (a), com isolante de 2 mm:
r2 = r1 + e = 0,0025,m + 0,002,m = 0,0045,m
Calculando Rcond = ln(0,00450,0025)2pi cdot 5 cdot 0,2 approx ln(1,8)6.2832 approx 0,58786.2832 approx 0,0937,°C/W :
Rconv = 112 cdot 2pi cdot 0,0045 cdot 5 approx 112 cdot 0,1414 approx 11,696 approx 0,589,°C/W
Calculando :

Passo 8

Somando as resistências:
Rtotal = Rcond + Rconv = 0,0937 + 0,589 approx 0,6827,°C/W
Calculando Q = 125 - 300,6827 approx 950,6827 approx 139,W :

Passo 9

Para a parte (b), com isolante de 4 mm:
e = 4,mm = 0,004,m Rightarrow r2 = 0,0025,m + 0,004,m = 0,0065,m
Calculando Rcond = ln(0,00650,0025)2pi cdot 5 cdot 0,2 approx ln(2,6)6.2832 approx 0,95556.2832 approx 0,1519,°C/W :
Rconv = 112 cdot 2pi cdot 0,0065 cdot 5 approx 112 cdot 0,2042 approx 12,4504 approx 0,408,°C/W
Calculando :

Passo 10

Somando as resistências:
Rtotal = Rcond + Rconv = 0,1519 + 0,408 approx 0,5599,°C/W
Calculando Q = 125 - 300,5599 approx 950,5599 approx 169,W :

Resposta

(a) 139 W
(b) 169 W

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