Considere o plano pi de equação pi: x-y+z+2=0 e o ponto P=(1,1,1).
(a) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano pi com a equação x - y + z + 2 = 0 e um ponto P = (1, 1, 1). A questão pede pra gente encontrar a equação da reta que passa por P e é perpendicular ao plano pi. Então, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre planos e retas perpendiculares. Precisaremos saber como encontrar o vetor normal de um plano e como usar esse vetor para definir a direção da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o plano pi tem a equação x - y + z + 2 = 0. Então, o vetor normal n é (1, -1, 1).

Passo 3

Agora, como queremos uma reta que é perpendicular ao plano pi, essa reta precisa ter a mesma direção do vetor normal do plano. Ou seja, o vetor diretor da reta será $ \vec{d} = \vec{n} = (1, -1, 1)$.

Passo 4

Sabendo o ponto P = (1, 1, 1) por onde a reta passa e o vetor diretor d = (1, -1, 1), podemos escrever a equação paramétrica da reta. As equações paramétricas são:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
onde (x0, y0, z0) é o ponto inicial e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.

Passo 5

Substituindo os valores:
x = 1 + 1 cdot t y = 1 - 1 cdot t z = 1 + 1 cdot t
Ou seja:
x = 1 + t y = 1 - t z = 1 + t

Resposta

A equação da reta que passa pelo ponto P = (1, 1, 1) e é perpendicular ao plano pi é:
x = 1 + t y = 1 - t z = 1 + t
Onde t é o parâmetro real.

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