Considere o plano de equação e o ponto .
(a) Determine a equação da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano com a equação e um ponto . A questão pede pra gente encontrar a equação da reta que passa por e é perpendicular ao plano . Então, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre planos e retas perpendiculares. Precisaremos saber como encontrar o vetor normal de um plano e como usar esse vetor para definir a direção da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é , onde é o vetor normal ao plano. No nosso caso, o plano tem a equação . Então, o vetor normal é .
Passo 3
Agora, como queremos uma reta que é perpendicular ao plano , essa reta precisa ter a mesma direção do vetor normal do plano. Ou seja, o vetor diretor da reta será $ \vec{d} = \vec{n} = (1, -1, 1)$.
Passo 4
Sabendo o ponto por onde a reta passa e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta. As equações paramétricas são:
onde (x0, y0, z0) é o ponto inicial e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.
Passo 5
Substituindo os valores:
x = 1 + 1 cdot t y = 1 - 1 cdot t z = 1 + 1 cdot t
Ou seja:
x = 1 + t y = 1 - t z = 1 + t
Resposta
A equação da reta que passa pelo ponto P = (1, 1, 1) e é perpendicular ao plano pi é: