Dada a equação
. Identifique o tipo da cônica que a equação representa, em seguida determine sua equação reduzida, centro, focos, vértices e excentricidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação
e pede para identificar que tipo de cônica é essa. Além disso, precisamos encontrar a equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e a excentricidade. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre cônicas como parábolas, elipses e hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos colocar os termos em ordem:
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos de
e os termos de
:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o 4 do
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, tomamos a metade do coeficiente de
, que é 8, dividimos por 2, dando 4, e então elevamos ao quadrado, resultando em 16. Adicionamos e subtraímos 16 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos deixar a equa�o mais simples isolando os termos completos:
Passo 6
Para identificar o tipo de cônica, vamos dividir todos os termos por 16:
Simplificando as frações:
Passo 7
A forma geral agora está parecendo com a equação padrão de uma hipérbole, que é:
Comparando, vemos que
,
,
, e
. Portanto, a cônica é uma hipérbole.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a equação reduzida, que já está praticamente na forma reduzida:
Passo 9
O centro da hipérbole está em
, que é
.
Passo 10
Para encontrar os vértices, usamos
. Como a hipérbole abre horizontalmente, os vértices estão a
unidades à direita e à esquerda do centro:
Vértices:
e
Passo 11
Os focos são encontrados usando
. Os focos estão a
unidades à direita e à esquerda do centro:
Focos:
e
Passo 12
A excentricidade
é dada por
Resposta
A cônica representada pela equação
é uma hipérbole. Sua equação reduzida é
, o centro está em
, os vértices são
e
, os focos estão em
e
, e a excentricidade é
.
Exercícios relacionados
Considere as retas paralelas
© Calcule dist(
.
Considere a quádrica
e o plano
.
Determine a interseção de .
Determine a interseção de
Considere o plano
de equação
e o ponto
.
(a) Determine a equação da reta que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano
;
(a) Determine a equação da reta que passa pelo ponto
Determine a equação da reta interseção dos planos nos seguintes casos:
f)
f)