Dada a equação 4 x^2-y^2+32 x+48=0. Identifique o tipo da cônica que a equação representa, em seguida determine sua equação reduzida, centro, focos, vértices e excentricidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação e pede para identificar que tipo de cônica é essa. Além disso, precisamos encontrar a equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e a excentricidade. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre cônicas como parábolas, elipses e hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos colocar os termos em ordem:
4x^2 + 32x - y^2 + 48 = 0

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos de (4x^2 + 32x) - y^2 = -48 e os termos de :

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de 4(x^2 + 8x) - y^2 = -48. Primeiro, fatoramos o 4 do 4(x^2 + 8x + 16 - 16) - y^2 = -48:
4(x + 4)^2 - 64 - y^2 = -48
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, tomamos a metade do coeficiente de , que é 8, dividimos por 2, dando 4, e então elevamos ao quadrado, resultando em 16. Adicionamos e subtraímos 16 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos deixar a equa�o mais simples isolando os termos completos:
4(x + 4)^2 - y^2 = 16

Passo 6

Para identificar o tipo de cônica, vamos dividir todos os termos por 16:
4(x + 4)^216 - y^216 = 1
Simplificando as frações:
(x + 4)^24 - y^216 = 1

Passo 7

A forma geral agora está parecendo com a equação padrão de uma hipérbole, que é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando, vemos que , , , e . Portanto, a cônica é uma hipérbole.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a equação reduzida, que já está praticamente na forma reduzida:
(x + 4)^24 - y^216 = 1

Passo 9

O centro da hipérbole está em , que é .

Passo 10

Para encontrar os vértices, usamos . Como a hipérbole abre horizontalmente, os vértices estão a unidades à direita e à esquerda do centro:
Vértices: e

Passo 11

Os focos são encontrados usando . Os focos estão a unidades à direita e à esquerda do centro:
Focos: e

Passo 12

A excentricidade é dada por

Resposta

A cônica representada pela equação é uma hipérbole. Sua equação reduzida é , o centro está em , os vértices são e , os focos estão em e , e a excentricidade é .

Exercícios relacionados

Considere as retas paralelas
r:(x, y, z)=(0,1,2)+t(3,-1,2) e s:(x, y, z)=(1,0,-1)+s(3,-1,2)
© Calcule dist( r, s).
Considere a quádrica S: 2 x^2+y^2+z^2-4 x-6 y+9=0 e o plano pi: x=1.
Determine a interseção de S com pi.
Considere o plano pi de equação pi: x-y+z+2=0 e o ponto P=(1,1,1).
(a) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano pi;
Determine a equação da reta interseção dos planos nos seguintes casos:
f) lx-y=0 x+z=0