Considere as retas paralelas
r:(x, y, z)=(0,1,2)+t(3,-1,2) e s:(x, y, z)=(1,0,-1)+s(3,-1,2)
© Calcule dist( r, s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre duas retas paralelas no espaço. As retas dadas são:
r: (x, y, z) = (0,1,2) + t(3,-1,2) e s: (x, y, z) = (1,0,-1) + s(3,-1,2)
Vamos precisar usar conceitos de vetores e geometria analítica, especialmente a fórmula para calcular a distância entre duas retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de cada reta e o vetor diretor comum. Para a reta , o ponto inicial é e o vetor diretor é . Para a reta , o ponto inicial é e o vetor diretor é o mesmo .

Passo 3

Como as retas são paralelas, a distância entre elas pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
dist(r, s) = |P0Q0 times v||v|
Aqui, é o vetor que vai do ponto da reta até o ponto da reta .

Passo 4

Vamos calcular o vetor P0Q0 = Q0 - P0 = (1-0, 0-1, -1-2) = (1, -1, -3) :
P0Q0 times v = i & j & k 1 & -1 & -3 3 & -1 & 2 = i((-1)(2) - (-3)(-1)) - j((1)(2) - (-3)(3)) + k((1)(-1) - (-1)(3))
Agora, calculamos o produto vetorial P0Q0 times v = i(-2 - 3) - j(2 - (-9)) + k(-1 - (-3)) = i(-5) - j(11) + k(2) = (-5, -11, 2) :
|P0Q0 times v| = raiz(-5)^2 + (-11)^2 + 2^2 = raiz25 + 121 + 4 = raiz150 = 5raiz6
Simplificando:
|v| = raiz3^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14
A magnitude desse vetor é:
A magnitude do vetor diretor é:

Resposta

A distância entre as retas dist(r, s) = 5raiz6raiz14 = 5raiz6 cdot raiz1414 = 5raiz8414 = 5 cdot 2raiz2114 = 10raiz2114 = 5raiz217 e é:
Portanto, a distância é unidades.

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