Considere o polinômio p(x) = x³ = x² + ax - a, onde a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de p(x), então podemos afirmar que
a) a < 0.
b) a < 1.
c) d) a > 0. a > 1.
a) a < 0.
b) a < 1.
c) d) a > 0. a > 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta um polinômio $ p(x) = x^3 - x^2 + a,x - a $, onde $ a $ é um número real. A informação chave é que $ x = 1 $ é a única raiz real desse polinômio. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das opções sobre o valor de $ a $ é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra sobre raízes de polinômios e seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, já que $ x = 1 $ é uma raiz do polinômio $ p(x) $, podemos substituir $ x $ por 1 na equação para encontrar uma relação envolvendo $ a $.
Simplificando isso:
Hmm, isso não nos dá nenhuma informação sobre $ a $. Então, vamos pensar de outra forma. Se $ x = 1 $ é uma raiz de multiplicidade três (já que é a única raiz real e o grau do polinômio é três), então podemos fatorar $ p(x) $ como:
Vamos expandir esse polinômio para encontrar uma expressão para $ p(x) $:
Comparando isso com a expressão original $ p(x) = x^3 - x^2 + a,x - a $, podemos igualar os coeficientes correspondentes:
- Coeficiente de $ x^3 $: $ 1 = 1 $ (confere)
- Coeficiente de $ x^2 $: $ -1 = -3 $
- Coeficiente de $ x $: $ a = 3 $
- Termo constante: $ -a = -1 $
Viu? Algo não está batendo aqui. Na verdade, só conseguimos que $ a = 3 $ a partir do coeficiente de $ x $, mas o coeficiente de $ x^2 $ não confere. Isso indica que nossa suposição de que $ x = 1 $ é uma raiz de multiplicidade três está errada. Portanto, $ x = 1 $ deve ser uma raiz simples, e as outras duas raízes são complexas ou iguais a 1 também.
Passo 3
Sabendo que $ x = 1 $ é a única raiz real, as outras duas raízes devem ser complexas conjugadas. Para que um polinômio de grau três tenha apenas uma raiz real, seu discriminante deve ser negativo. Vamos encontrar o discriminante do polinômio $ p(x) $.
Primeiro, vamos considerar a derivada de $ p(x) $ para encontrar seus pontos críticos:
Para que $ x = 1 $ seja a única raiz real, a derivada $ p’(x) $ também deve ter apenas um ponto de tangência nesse ponto, ou seja, o discriminante de $ p’(x) $ deve ser zero.
O discriminante $ \Delta $ de uma equação quadrática $ ax^2 + bx + c = 0 $ é dado por:
Aplicando isso à derivada:
Para que haja apenas um ponto crítico real, temos:
Então:
Passo 4
Chegamos a $ a = \frac{1}{3} $. Agora, vamos verificar as opções dadas na questão:
a) $ a < 0 $ →
➔ Falso
b) $ a < 1 $ →
➔ Verdadeiro
d) $ a > 0 $ →
➔ Verdadeiro
e) $ a > 1 $ →
➔ Falso
Assim, as opções corretas são b) e d).
Resposta
As afirmações corretas são b) $ a < 1 $ e d) $ a > 0 $.