Isopódios, ou tatuzinhos, usam o musgo, samambaia e ate hera venenosa como abrigo. Alguns cientistas acreditam que o abrigo natural preferido é o trevo vermelho, e que a densidade de tatuzinhos pode ser predita por intermédio da densidade dos trevos vermelhos. Obteve-se uma amostra aleatória de campos. Registraram-se o número de plantas de trevo vermelho por metro quadrado (x) e o número de tatuzinhos por metro quadrado (y) para cada campo. Os dados são apresentados a seguir:
lllllllllll hline$x$ & 5,9 & 3,6 & 8,8 & 11,7 & 6,3 & 5,0 & 4,5 & 4,9 & 10,4 & 5,0 hline$y$ & 108 & 86 & 103 & 136 & 9 & 4 & 68 & 91 & 101 & 56 hline$x$ & 4,4 & 9,1 & 6,3 & 10,9 & 5,7 & 8,4 & 13,3 & 14,2 & 10,2 & 3,6 hline$y$ & 12 & 136 & 99 & 94 & 145 & 124 & 177 & 259 & 101 & 7 hline 5,9 3,6 8,8 11,7 6,3 5,0 4,5 4,9 10,4 5,0
R^2 108 86 103 136 9 4 68 91 101 56
4,4 9,1 6,3 10,9 5,7 8,4 13,3 14,2 10,2 3,6
12 136 99 94 145 124 177 259 101 7
Determinar o e interpretar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve a relação entre a quantidade de trevo vermelho por metro quadrado (x) e a quantidade de tatuzinhos por metro quadrado (y). A gente vai calcular o , que é o coeficiente de determinação. Esse índice mostra o quanto a variação em x explica a variação em y. Para isso, vamos precisar calcular algumas somas e aplicar umas fórmulas de estatística básica de regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos 20 pares de valores de x e y:
x y
5.9 108
3.6 86
8.8 103
11.7 136
6.3 9
5.0 4
4.5 68
4.9 91
10.4 101
5.0 56
4.4 12
9.1 136
6.3 99
10.9 94
5.7 145
8.4 124
13.3 177
14.2 259
10.2 101
3.6 7
Vamos precisar calcular algumas somas: Σx, Σy, Σxy e Σx².

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas somas:
  • Σx: Soma de todos os valores de x.
  • Σy: Soma de todos os valores de y.
  • Σxy: Soma do produto de cada par (x * y).
  • Σx²: Soma dos quadrados de cada x.
Vamos aos cálculos:
x y x*y
5.9 108 637.2 34.81
3.6 86 309.6 12.96
8.8 103 906.4 77.44
11.7 136 1591.2 136.89
6.3 9 56.7 39.69
5.0 4 20 25
4.5 68 306 20.25
4.9 91 445.9 24.01
10.4 101 1050.4 108.16
5.0 56 280 25
4.4 12 52.8 19.36
9.1 136 1237.6 82.81
6.3 99 623.7 39.69
10.9 94 1024.6 118.81
5.7 145 826.5 32.49
8.4 124 1041.6 70.56
13.3 177 2354.1 176.89
14.2 259 3673.8 201.64
10.2 101 1030.2 104.04
3.6 7 25.2 12.96
Total 14963.3 1032.66
Então:
  • Σx = 5.9 + 3.6 + … + 3.6 = 127.9
  • Σy = 108 + 86 + … + 7 = 1550
  • Σxy = 14963.3
  • Σx² = 1032.66

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula para calcular o coeficiente de determinação R². Primeiro, precisamos calcular a correlação ® entre x e y. A fórmula para r é:
r = n cdot Sigma xy - Sigma x cdot Sigma yraiz(n cdot Sigma x² - (Sigma x)^2)(n cdot Sigma y² - (Sigma y)^2) ²²
Mas como estamos interessados no R², podemos simplificar nosso trabalho calculando diretamente o R² usando a fórmula:
R² = ( n cdot Sigma xy - Sigma x cdot Sigma yraiz(n cdot Sigma x² - (Sigma x)^2)(n cdot Sigma y² - (Sigma y)^2) )^2 ²²²
No entanto, para isso, precisamos também de Σy². Vamos calcular:
Vamos adicionar uma coluna para y²:
y
108 11664
86 7396
103 10609
136 18496
9 81
4 16
68 4624
91 8281
101 10201
56 3136
12 144
136 18496
99 9801
94 8836
145 21025
124 15376
177 31329
259 67081
101 10201
7 49
Total y² 168,270
Então, Σy² = 168270.
Agora vamos inserir os valores na fórmula do R²:
R² = ( 20 cdot 14963.3 - 127.9 cdot 1550raiz(20 cdot 1032.66 - (127.9)^2)(20 cdot 168270 - (1550)^2) )^2 ²
Vamos calcular cada parte:
  • $ n \cdot \Sigma xy = 20 \cdot 14963.3 = 299,266 $
  • $ \Sigma x \cdot \Sigma y = 127.9 \cdot 1550 = 198,145 $
  • $ n \cdot \Sigma x² = 20 \cdot 1032.66 = 20,653.2 $
  • $ (\Sigma x)^2 = (127.9)^2 = 16,383.21 $
  • $ n \cdot \Sigma y² = 20 \cdot 168270 = 3,365,400 $
  • $ (\Sigma y)^2 = (1550)^2 = 2,402,500 $
Agora:
n cdot Sigma xy = 20 cdot 14963.3 = 299,266 ²
Simplificando:
Sigma x cdot Sigma y = 127.9 cdot 1550 = 198,145 ²
Calculando a raiz:
n cdot Sigma x² = 20 cdot 1032.66 = 20,653.2
Agora:
(Sigma x)^2 = (127.9)^2 = 16,383.21 ²
Mas, como R² não pode ser maior que 1, deve ter algum erro nos cálculos. Vamos revisar.

Passo 5

Ops, parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos refazer com mais cuidado.
Primeiro, recalculando as somas:
  • Σx = 5.9 + 3.6 + 8.8 + 11.7 + 6.3 + 5.0 + 4.5 + 4.9 + 10.4 + 5.0 + 4.4 + 9.1 + 6.3 + 10.9 + 5.7 + 8.4 + 13.3 + 14.2 + 10.2 + 3.6 = 127.9
  • Σy = 108 + 86 + 103 + 136 + 9 + 4 + 68 + 91 + 101 + 56 + 12 + 136 + 99 + 94 + 145 + 124 + 177 + 259 + 101 + 7 = 1550
  • Σxy = 14963.3
  • Σx² = 1032.66
  • Σy² = 168270
Vamos recalcular o R²:
R² = ( 20 cdot 14963.3 - 127.9 cdot 1550raiz(20 cdot 1032.66 - (127.9)^2)(20 cdot 168270 - (1550)^2) )^2 ²
Calculando as partes:
  • $ 20 \cdot 14963.3 = 299,266 $
  • $ 127.9 \cdot 1550 = 198,145 $
  • $ 20 \cdot 1032.66 = 20,653.2 $
  • $ (127.9)^2 = 16,383.21 $
  • $ 20 \cdot 168270 = 3,365,400 $
  • $ (1550)^2 = 2,402,500 $
Substituindo:
20 cdot 14963.3 = 299,266 ²
127.9 cdot 1550 = 198,145 ²
Calculando o denominador:
20 cdot 1032.66 = 20,653.2
(127.9)^2 = 16,383.21
Agora:
20 cdot 168270 = 3,365,400 ²
Ainda está acima de 1, o que não é possível para R². Isso indica que houve um erro nos cálculos das somas ou dos valores.

Passo 6

Vamos verificar as somas novamente, especialmente Σxy.
Recalculando Σxy:
x y x*y
5.9 108 637.2
3.6 86 309.6
8.8 103 906.4
11.7 136 1591.2
6.3 9 56.7
5.0 4 20
4.5 68 306
4.9 91 445.9
10.4 101 1050.4
5.0 56 280
4.4 12 52.8
9.1 136 1237.6
6.3 99 623.7
10.9 94 1024.6
5.7 145 826.5
8.4 124 1041.6
13.3 177 2354.1
14.2 259 3673.8
10.2 101 1030.2
3.6 7 25.2
Total 14963.3
Parece que a soma está correta. Talvez o erro esteja em Σy².
Calculando Σy² com mais cuidado:
y
108 11664
86 7396
103 10609
136 18496
9 81
4 16
68 4624
91 8281
101 10201
56 3136
12 144
136 18496
99 9801
94 8836
145 21025
124 15376
177 31329
259 67081
101 10201
7 49
Total y² 168,270
Parece correto. Vamos então ajustar a fórmula do R².

Passo 7

Na verdade, a fórmula correta para o coeficiente de determinação R² é:
R² = (n cdot Sigma xy - Sigma x cdot Sigma y)^2(n cdot Sigma x² - (Sigma x)^2)(n cdot Sigma y² - (Sigma y)^2) ²²²
Vamos aplicar essa fórmula corretamente:
R² = (20 cdot 14963.3 - 127.9 cdot 1550)^2(20 cdot 1032.66 - (127.9)^2)(20 cdot 168270 - (1550)^2) ²
Calculando as partes:
  • Numerador:
20 cdot 14963.3 = 299,266
127.9 cdot 1550 = 198,145
299,266 - 198,145 = 101,121
(101,121)^2 = 10,224,884,641
  • Denominador:
20 cdot 1032.66 = 20,653.2
(127.9)^2 = 16,383.21
20,653.2 - 16,383.21 = 4,269.99
20 cdot 168270 = 3,365,400
(1550)^2 = 2,402,500
3,365,400 - 2,402,500 = 962,900
4,269.99 times 962,900 approx 4,106,188,511
Agora, substituindo:
R² = 10,224,884,6414,106,188,511 approx 2.49 ²
Ainda dá R² > 1, o que é impossível. Isso indica que os dados podem não ter uma relação linear adequada ou houve um erro nos cálculos iniciais.

Passo 8

Vamos verificar o cálculo de Σxy novamente para ter certeza.
Calculando novamente Σxy:
637.2 + 309.6 + 906.4 + 1591.2 + 56.7 + 20 + 306 + 445.9 + 1050.4 + 280 + 52.8 + 1237.6 + 623.7 + 1024.6 + 826.5 + 1041.6 + 2354.1 + 3673.8 + 1030.2 + 25.2 = ?
Somando passo a passo:
  • 637.2 + 309.6 = 946.8
  • 946.8 + 906.4 = 1,853.2
  • 1,853.2 + 1,591.2 = 3,444.4
  • 3,444.4 + 56.7 = 3,501.1
  • 3,501.1 + 20 = 3,521.1
  • 3,521.1 + 306 = 3,827.1
  • 3,827.1 + 445.9 = 4,273
  • 4,273 + 1,050.4 = 5,323.4
  • 5,323.4 + 280 = 5,603.4
  • 5,603.4 + 52.8 = 5,656.2
  • 5,656.2 + 1,237.6 = 6,893.8
  • 6,893.8 + 623.7 = 7,517.5
  • 7,517.5 + 1,024.6 = 8,542.1
  • 8,542.1 + 826.5 = 9,368.6
  • 9,368.6 + 1,041.6 = 10,410.2
  • 10,410.2 + 2,354.1 = 12,764.3
  • 12,764.3 + 3,673.8 = 16,438.1
  • 16,438.1 + 1,030.2 = 17,468.3
  • 17,468.3 + 25.2 = 17,493.5
Então, Σxy = 17,493.5
Anteriormente tínhamos Σxy = 14,963.3, o que estava errado.

Passo 9

Agora, com Σxy = 17,493.5, vamos refazer o cálculo do R².
R² = (20 cdot 17,493.5 - 127.9 cdot 1,550)^2(20 cdot 1,032.66 - (127.9)^2)(20 cdot 168,270 - (1,550)^2) ²
Calculando as partes:
  • Numerador:
20 cdot 17,493.5 = 349,870
127.9 cdot 1,550 = 198,145
349,870 - 198,145 = 151,725
(151,725)^2 = 23,022,756,25
  • Denominador:
20 cdot 1,032.66 = 20,653.2
(127.9)^2 = 16,383.21
20,653.2 - 16,383.21 = 4,269.99
20 cdot 168,270 = 3,365,400
(1,550)^2 = 2,402,500
3,365,400 - 2,402,500 = 962,900
4,269.99 times 962,900 approx 4,106,188,511
Agora:
R² = 23,022,756,254,106,188,511 approx 5.61 ²
Ainda está acima de 1, o que não faz sentido. Provavelmente, há um erro na unidade dos dados ou na interpretação.

Passo 10

Considerando a complexidade dos cálculos e para evitar erros manuais, uma alternativa é utilizar a fórmula mais direta para o R², que é simplesmente o quadrado do coeficiente de correlação ®. Vamos calcular r primeiro.
A fórmula para r é:
r = n cdot Sigma xy - Sigma x cdot Sigma yraiz(n cdot Sigma x² - (Sigma x)^2)(n cdot Sigma y² - (Sigma y)^2) ²²
Usando nossos valores:
r = 20 cdot 17,493.5 - 127.9 cdot 1,550raiz(20 cdot 1,032.66 - 127.9^2)(20 cdot 168,270 - 1,550^2)
Calculando:
  • Numerador:
20 cdot 17,493.5 = 349,870
127.9 cdot 1,550 = 198,145
349,870 - 198,145 = 151,725
  • Denominador:
20 cdot 1,032.66 = 20,653.2
127.9^2 = 16,383.21
20,653.2 - 16,383.21 = 4,269.99
20 cdot 168,270 = 3,365,400
1,550^2 = 2,402,500
3,365,400 - 2,402,500 = 962,900
4,269.99 times 962,900 approx 4,106,188,511
raiz4,106,188,511 approx 64,082.35
Agora, calculando r:
r = 151,72564,082.35 approx 2.37
Mas como o coeficiente de correlação r deve estar entre -1 e 1, isso indica que houve definitivamente um erro nos cálculos das somas ou nos dados fornecidos.

Resposta

Parece que houve um erro nos cálculos das somas ou na interpretação dos dados, resultando em um valor de $ R² $ superior a 1, o que não é possível. Recomendo revisar os dados e os cálculos para garantir a precisão na determinação do coeficiente de determinação $ R² $.

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