Considere uma população normal com variância 36 , da qual se extrai uma amostra aleatória simples de tamanho 16. Deseja-se testar as seguintes hipóteses:
l H0: mu=45 H1: mu<45
Considerando a região crítica R C=barx: barx<41,25, calcule:
a) a probabilidade do erro tipo I.
b) a probabilidade do erro tipo II supondo que mu=43.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre teste de hipóteses para a média de uma população que é normal, com variância igual a 36. A gente tirou uma amostra de tamanho 16 e queremos testar se a média é igual a 45 (hipótese nula H0: mu=45) contra a hipótese alternativa de que a média é menor que 45 ( H1: mu<45). A região crítica, onde vamos rejeitar a hipótese nula, é quando a média da amostra é menor que 41,25. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e entender os erros tipo I e II.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade do erro tipo I, que é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. Ou seja, é a chance de pensar que a média é menor que 45 quando, na verdade, ela é 45.

Passo 3

Sabemos que a variância da população é 36, então o desvio padrão sigma é a raiz quadrada disso, ou seja, sigma = raiz36 = 6. A amostra tem tamanho 16, então o desvio padrão da média é sigmabarx = sigmaraizn = 6raiz16 = 64 = 1,5.

Passo 4

Para encontrar a probabilidade do erro tipo I, queremos calcular P(barx < 41,25 ,|, mu=45). Vamos padronizar isso usando a distribuição normal padrão:
Z = barx - musigmabarx = 41,25 - 451,5 = -3,751,5 = -2,5

Passo 5

Agora, vamos olhar na tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade de Z ser menor que -2,5. Essa probabilidade é aproximadamente 0,0062.

Passo 6

Portanto, a probabilidade do erro tipo I é de cerca de 0,62%.

Passo 7

Agora vamos para a parte b). Queremos calcular a probabilidade do erro tipo II, que é a probabilidade de não rejeitarmos a hipótese nula quando a verdadeira média é 43. Ou seja, é a chance de pensar que a média é 45 ou mais quando, na verdade, ela é 43.

Passo 8

Primeiro, calculamos novamente o desvio padrão da média, que já sabemos ser 1,5. Agora, queremos calcular P(barx >= 41,25 ,|, mu=43).

Passo 9

Padronizando:
Z = 41,25 - 431,5 = -1,751,5 approx -1,1667

Passo 10

Queremos a probabilidade de Z ser maior ou igual a -1,1667. Na tabela da distribuição normal padrão, a probabilidade de Z ser menor que -1,1667 é aproximadamente 0,122. Portanto, a probabilidade de Z ser maior ou igual a -1,1667 é 1 - 0,122 = 0,878.

Resposta

a) A probabilidade do erro tipo I é aproximadamente 0,62%.
b) A probabilidade do erro tipo II, supondo que mu=43, é aproximadamente 87,8%.

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