Considere uma população normal com variância 225 , da qual se extrai uma amostra aleatória simples de tamanho 25. Deseja-se testar as seguintes hipóteses:
Considerando a região crítica
, calcule as probabilidades dos erros tipo I e II.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A gente tem uma população que segue uma distribuição normal com variância 225 e tirou uma amostra de tamanho 25. Queremos testar se a média dessa população é 40 ou 45, usando um critério de decisão onde a média amostral maior que 43 leva a rejeitar a hipótese inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre testes de hipóteses, distribuição normal e erros Tipo I e Tipo II.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a variância e o desvio padrão. A variância é 225, então o desvio padrão (
) é a raiz quadrada disso:
Como nossa amostra tem tamanho 25 (
), o desvio padrão da média amostral (
) fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade do erro Tipo I, que é a chance de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. Aqui, a hipótese nula (
) é que a média é 40. Queremos saber a probabilidade de a média amostral ser maior que 43 quando a verdadeira média é 40.
Para isso, vamos padronizar usando o z-score:
Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de z ser maior que 1 é aproximadamente 15,87%. Isso significa que há 15,87% de chance de cometer um erro Tipo I.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade do erro Tipo II, que é a chance de não rejeitarmos a hipótese nula quando a hipótese alternativa (
) é verdadeira. Aqui,
diz que a média é 45. Queremos saber a probabilidade de a média amostral ser menor ou igual a 43 quando a verdadeira média é 45.
Novamente, calculamos o z-score:
Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de z ser menor ou igual a -0,6667 é aproximadamente 25,25%. Isso significa que há 25,25% de chance de cometer um erro Tipo II.
Resposta
A probabilidade do erro Tipo I é aproximadamente 15,87% e a probabilidade do erro Tipo II é aproximadamente 25,25%.