Suponha que uma droga é administrada em 400 animais, obtendo 320 sucessos, ou seja, 80 % dos animais melhoraram. Obtenha o intervalo de 90 % de confiança para a proporção de melhora após o uso da droga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre administrar uma droga em 400 animais e observar que 320 deles melhoraram, ou seja, 80% tiveram sucesso. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, especificamente sobre Intervalo de Confiança para uma Proporção. Precisamos calcular o intervalo de confiança de 90% para a proporção de animais que melhoram após o uso da droga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores na qual acreditamos que a verdadeira proporção de sucesso da droga está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 90%).

Passo 3

Para calcular o intervalo de confiança para uma proporção, usamos a seguinte fórmula:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção observada (80% ou 0,80)
  • Z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado
  • n é o tamanho da amostra (400 animais)

Passo 4

Vamos encontrar o valor de Z para um intervalo de confiança de 90%. Como a distribuição normal é simétrica, dividimos o nível de confiança em duas partes iguais para os extremos. Então, para 90%, temos 5% em cada extremidade da distribuição.
Consultando a tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de Z para 90% de confiança é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
0,80 pm 1,645 times raiz0,80 times (1 - 0,80)400

Passo 6

Calculando o termo dentro da raiz:
0,80 times 0,20400 = 0,16400 = 0,0004
E a raiz quadrada disso é:
raiz0,0004 = 0,02

Passo 7

Multiplicando pelo valor de Z:
1,645 times 0,02 = 0,0329

Passo 8

Agora, aplicamos esse valor à proporção observada para encontrar os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
0,80 - 0,0329 = 0,7671
0,80 + 0,0329 = 0,8329

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a proporção de melhora após o uso da droga é aproximadamente de 76,71% a 83,29%.

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