Considere a progressão geométrica infinita: (3:0,30,03,0,003, …) Então a sequência assim formada pelos logaritmos decimais de cada um desses termos, nessa ordem,(log(3).log(0,3).log(0,03), log (0,003)…). é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma progressão geométrica infinita que começa com os termos 3, 0,3, 0,03, 0,003, ldots. A gente precisa analisar a sequência formada pelos logaritmos decimais desses termos, ou seja, log(3), log(0,3), log(0,03), log(0,003), ldots. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas e aritméticas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a progressão geométrica original. Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso:
  • Primeiro termo ( a1) = 3
  • Segundo termo ( a2) = 0,3
  • Terceiro termo ( a3) = 0,03
  • E assim por diante…
Podemos ver que a razão da PG ( r) é 0,1, porque 0,3 = 3 times 0,1, 0,03 = 0,3 times 0,1, etc.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a sequência dos logaritmos decimais desses termos. Lembre-se que log aqui significa logaritmo na base 10. Vamos calcular os primeiros termos:
  • log(3) ≈ 0,4771
  • log(0,3) = log(310) = log(3) - log(10) ≈ 0,4771 - 1 = -0,5229
  • log(0,03) = log(3100) = log(3) - log(100) ≈ 0,4771 - 2 = -1,5229
  • log(0,003) = log(31000) = log(3) - log(1000) ≈ 0,4771 - 3 = -2,5229

Passo 4

Observando esses valores, percebemos que cada logaritmo diminui exatamente 1 a cada termo:
  • De 0,4771 para -0,5229, a diferença é -1
  • De -0,5229 para -1,5229, a diferença é -1
  • De -1,5229 para -2,5229, a diferença é -1
Isso significa que a sequência dos logaritmos forma uma progressão aritmética (PA), onde a diferença comum ( d) é -1.

Passo 5

Para confirmar, vamos lembrar uma propriedade importante: o logaritmo de uma progressão geométrica resulta em uma progressão aritmética. Isso porque:
log(an) = log(a1 times r^n-1) = log(a1) + (n-1)log(r)
Essa é a fórmula geral de uma PA, onde log(a1) é o primeiro termo e log(r) é a diferença comum.

Resposta

A sequência formada pelos logaritmos decimais dos termos da progressão geométrica é uma progressão aritmética com diferença comum igual a -1.

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