Considere a progressão geométrica infinita: (3:0,30,03,0,003, …) Então a sequência assim formada pelos logaritmos decimais de cada um desses termos, nessa ordem,(log(3).log(0,3).log(0,03), log (0,003)…). é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma progressão geométrica infinita que começa com os termos
. A gente precisa analisar a sequência formada pelos logaritmos decimais desses termos, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas e aritméticas e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a progressão geométrica original. Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. No nosso caso:
- Primeiro termo (
) = 3 - Segundo termo (
) = 0,3 - Terceiro termo (
) = 0,03 - E assim por diante…
Podemos ver que a razão da PG (
) é
, porque
,
, etc.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a sequência dos logaritmos decimais desses termos. Lembre-se que
aqui significa logaritmo na base 10. Vamos calcular os primeiros termos:
-
≈ 0,4771 -
= = ≈ 0,4771 - 1 = -0,5229 -
= = ≈ 0,4771 - 2 = -1,5229 -
= = ≈ 0,4771 - 3 = -2,5229
Passo 4
Observando esses valores, percebemos que cada logaritmo diminui exatamente 1 a cada termo:
- De 0,4771 para -0,5229, a diferença é -1
- De -0,5229 para -1,5229, a diferença é -1
- De -1,5229 para -2,5229, a diferença é -1
Isso significa que a sequência dos logaritmos forma uma progressão aritmética (PA), onde a diferença comum (
) é -1.
Passo 5
Para confirmar, vamos lembrar uma propriedade importante: o logaritmo de uma progressão geométrica resulta em uma progressão aritmética. Isso porque:
Essa é a fórmula geral de uma PA, onde
é o primeiro termo e
é a diferença comum.
Resposta
A sequência formada pelos logaritmos decimais dos termos da progressão geométrica é uma progressão aritmética com diferença comum igual a
.