Considere um quadrado no plano
de
com um dos lados fazendo um ângulo de
com o eixo
. Se
está se movendo com
em relação a
, qual a forma e qual a orientação da figura em
? Indique o ângulo em
a respeito do eixo
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre como um quadrado que está em um sistema de referência
(com planos
) se comporta quando observado de outro sistema de referência
que está em movimento relativo a
. A matéria envolvida aqui é a Teoria da Relatividade Restrita, especificamente o contrato de comprimento e a rotação aparente de objetos devido à relatividade. Para resolver, vamos precisar entender como as dimensões e ângulos de um objeto mudam quando visto de um sistema em movimento relativo.
Passo 2
Primeiro, sabemos que em
temos um quadrado com um lado formando um ângulo de
com o eixo
. Isso significa que os lados do quadrado não estão alinhados diretamente com os eixos
e
, mas inclinados.
Passo 3
Como
está se movendo com
em relação a
, isso significa que a velocidade
é metade da velocidade da luz (
). Na Relatividade Restrita, o comprimento de um objeto na direção do movimento sofre contratação de comprimento, ou seja, encolhe pelo fator
.
Passo 4
Calculando o fator de Lorentz
:
Esse fator nos mostra quanto o comprimento na direção do movimento será contraído.
Passo 5
Agora, vamos identificar a direção do movimento. Supondo que
está se movendo ao longo do eixo
de
, os comprimentos na direção
serão contraídos, enquanto os na direção
permanecem os mesmos.
Passo 6
Como o quadrado está inclinado a
em
, precisamos decompor seus lados nas direções
e
. Cada lado do quadrado tem o mesmo comprimento, digamos
, e forma um ângulo de
com o eixo
. Então, as componentes são:
Passo 7
No sistema
, apenas a componente na direção
sofre contração. Então, as novas componentes serão:
Passo 8
Agora, para encontrar a forma e a orientação da figura em
, precisamos ver como esses novos comprimentos se combinam. O objeto não será mais um quadrado perfeito devido à contração na direção do movimento, mas sim um losango ou um paralelogramo inclinado.
Passo 9
Para determinar o novo ângulo em
em relação ao eixo
, usamos a relação das componentes:
Então, o ângulo
é:
Resposta
Em
, a figura deixa de ser um quadrado perfeito e se torna um losango inclinado. O ângulo entre um dos lados do losango e o eixo
é aproximadamente
.