Considere um quadrado no plano x^prime y^prime de S^prime com um dos lados fazendo um ângulo de 30^circ com o eixo x^prime. Se S^prime está se movendo com beta=0,5 em relação a S, qual a forma e qual a orientação da figura em S ? Indique o ângulo em S a respeito do eixo x.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre como um quadrado que está em um sistema de referência S^prime (com planos x^prime y^prime) se comporta quando observado de outro sistema de referência S que está em movimento relativo a S^prime. A matéria envolvida aqui é a Teoria da Relatividade Restrita, especificamente o contrato de comprimento e a rotação aparente de objetos devido à relatividade. Para resolver, vamos precisar entender como as dimensões e ângulos de um objeto mudam quando visto de um sistema em movimento relativo.

Passo 2

Primeiro, sabemos que em S^prime temos um quadrado com um lado formando um ângulo de 30^circ com o eixo x^prime. Isso significa que os lados do quadrado não estão alinhados diretamente com os eixos x^prime e y^prime, mas inclinados.

Passo 3

Como S^prime está se movendo com beta = 0,5 em relação a S, isso significa que a velocidade v é metade da velocidade da luz ( beta = v/c = 0,5). Na Relatividade Restrita, o comprimento de um objeto na direção do movimento sofre contratação de comprimento, ou seja, encolhe pelo fator gamma = 1raiz1 - beta^2.

Passo 4

Calculando o fator de Lorentz gamma:
gamma = 1raiz1 - (0,5)^2 = 1raiz1 - 0,25 = 1raiz0,75 approx 1,1547
Esse fator nos mostra quanto o comprimento na direção do movimento será contraído.

Passo 5

Agora, vamos identificar a direção do movimento. Supondo que S^prime está se movendo ao longo do eixo x de S, os comprimentos na direção x serão contraídos, enquanto os na direção y permanecem os mesmos.

Passo 6

Como o quadrado está inclinado a 30^circ em S^prime, precisamos decompor seus lados nas direções x^prime e y^prime. Cada lado do quadrado tem o mesmo comprimento, digamos L, e forma um ângulo de 30^circ com o eixo x^prime. Então, as componentes são:
Lx^prime = L cos(30^circ) Ly^prime = L sin(30^circ)

Passo 7

No sistema S, apenas a componente na direção x sofre contração. Então, as novas componentes serão:
Lx = Lx^primegamma = L cos(30^circ)1,1547 Ly = Ly^prime = L sin(30^circ)

Passo 8

Agora, para encontrar a forma e a orientação da figura em S, precisamos ver como esses novos comprimentos se combinam. O objeto não será mais um quadrado perfeito devido à contração na direção do movimento, mas sim um losango ou um paralelogramo inclinado.

Passo 9

Para determinar o novo ângulo em S em relação ao eixo x, usamos a relação das componentes:
tan(theta) = LyLx = L sin(30^circ)L cos(30^circ)1,1547 = 1,1547 tan(30^circ) approx 1,1547 times 0,5774 approx 0,6667
Então, o ângulo theta é:
theta = arctan(0,6667) approx 33,69^circ

Resposta

Em S, a figura deixa de ser um quadrado perfeito e se torna um losango inclinado. O ângulo entre um dos lados do losango e o eixo x é aproximadamente 33,69^circ.

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