O próton de maior energia detectado até hoje nos raios cósmicos possuía a espantosa energia cinética de
(energia suficiente para aquecer de alguns graus Celsius uma colher de chá de água). Determine o fator de Lorentz
e a velocidade
da partícula em relação à Terra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton com uma energia cinética muito, mas muito alta:
eV. Nosso objetivo é descobrir o fator de Lorentz (
) e a velocidade (
) desse próton em relação à Terra.
Pra isso, vamos usar conceitos de relatividade especial. Precisamos entender como a energia cinética está relacionada ao fator de Lorentz e como isso nos ajuda a encontrar a velocidade da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total (
) de uma partícula relativística é dada por:
Onde:
- $ \gamma $ é o fator de Lorentz,
- $ m $ é a massa de repouso da partícula,
- $ c $ é a velocidade da luz.
A energia cinética (
) é a diferença entre a energia total e a energia de repouso (
):
Passo 3
Queremos encontrar $ \gamma $, então vamos isolar essa variável na equação da energia cinética:
Vamos precisar dos valores de:
- $ K = 3,0 \times 10^{20} $ eV,
- $ m $ (massa de repouso do próton),
- $ c = 3,0 \times 10^8 $ m/s.
A massa de repouso do próton é aproximadamente $ 938 $ MeV/
. Vamos converter isso para eV para manter as unidades consistentes.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula do $ \gamma $:
Vamos calcular essa divisão:
Então, o fator de Lorentz é aproximadamente $ \gamma = 3,2 \times 10^{11} $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a velocidade $ v $ usando a relação entre $ \gamma $ e $ v $:
Vamos isolar $ v $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por $ c $:
Passo 6
Como $ \gamma $ é muito grande ($ \gamma \approx 3,2 \times 10^{11} $), o termo $ \frac{1}{\gamma^2} $ é praticamente zero. Então:
Isso significa que a velocidade do próton está extremamente próxima da velocidade da luz, mas ligeiramente menor.
Resposta
O fator de Lorentz é aproximadamente $ \gamma = 3,2 \times 10^{11} $ e a velocidade do próton em relação à Terra é praticamente a velocidade da luz, $ v \approx c $.