O próton de maior energia detectado até hoje nos raios cósmicos possuía a espantosa energia cinética de 3,0 times 10^20 eV (energia suficiente para aquecer de alguns graus Celsius uma colher de chá de água). Determine o fator de Lorentz gamma e a velocidade v da partícula em relação à Terra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton com uma energia cinética muito, mas muito alta: 3,0 times 10^20 eV. Nosso objetivo é descobrir o fator de Lorentz ( gamma) e a velocidade ( v) desse próton em relação à Terra.
Pra isso, vamos usar conceitos de relatividade especial. Precisamos entender como a energia cinética está relacionada ao fator de Lorentz e como isso nos ajuda a encontrar a velocidade da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total ( E) de uma partícula relativística é dada por:
E = gamma m c^2
Onde:
  • $ \gamma $ é o fator de Lorentz,
  • $ m $ é a massa de repouso da partícula,
  • $ c $ é a velocidade da luz.
A energia cinética ( gamma ) é a diferença entre a energia total e a energia de repouso ( m ):
c

Passo 3

Queremos encontrar $ \gamma $, então vamos isolar essa variável na equação da energia cinética:
gamma
Vamos precisar dos valores de:
  • $ K = 3,0 \times 10^{20} $ eV,
  • $ m $ (massa de repouso do próton),
  • $ c = 3,0 \times 10^8 $ m/s.
A massa de repouso do próton é aproximadamente $ 938 $ MeV/ gamma = Km c^2 + 1 . Vamos converter isso para eV para manter as unidades consistentes.
K = 3,0 times 10^20

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do $ \gamma $:
gamma
Vamos calcular essa divisão:
gamma = 3,0 times 10^20 , eV938 times 10^6 , eV + 1
Então, o fator de Lorentz é aproximadamente $ \gamma = 3,2 \times 10^{11} $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade $ v $ usando a relação entre $ \gamma $ e $ v $:
v
Vamos isolar $ v $:
gamma
Elevando ambos os lados ao quadrado:
v
gamma = 1raiz1 - ( vc )^2
v
Multiplicando ambos os lados por $ c $:
raiz1 - ( vc )^2 = 1gamma

Passo 6

Como $ \gamma $ é muito grande ($ \gamma \approx 3,2 \times 10^{11} $), o termo $ \frac{1}{\gamma^2} $ é praticamente zero. Então:
gamma
Isso significa que a velocidade do próton está extremamente próxima da velocidade da luz, mas ligeiramente menor.

Resposta

O fator de Lorentz é aproximadamente $ \gamma = 3,2 \times 10^{11} $ e a velocidade do próton em relação à Terra é praticamente a velocidade da luz, $ v \approx c $.

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