Considere a quádrica
e o plano
.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica
e identifique-a.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma quádrica representada pela equação
e um plano dado por
. A pergunta (a) quer que a gente encontre a equação reduzida da quádrica
e identifique que tipo de superfície ela representa.
Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de
e
para transformar a equação em uma forma mais simples e reconhecível.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da quádrica agrupando os termos de
e
. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Isso ajuda a transformar a equação em uma forma padrão.
Para o termo de
:
Para o termo de
:
Passo 4
Substituindo esses resultados na equação original, temos:
Vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos isolar
para deixar a equação mais clara:
Passo 6
Essa é a equação reduzida da quádrica
:
Passo 7
Para identificar o tipo de superfície que essa equação representa, observamos que
é expresso como a soma de quadrados de
e
. Isso caracteriza um paraboloide circular. Mais especificamente, como os coeficientes de
e
são iguais e positivos, trata-se de um paraboloide circular de concavidade para cima.
Resposta
A equação reduzida da quádrica
é
e ela é um paraboloide circular de concavidade para cima.
Exercícios relacionados
Considere a quádrica
e o plano
.
b) Determine a interseção de com
.
b) Determine a interseção de
Considere o plano
de equação
e o ponto
.
(b) Determine a equação do plano que passa por e é paralelo ao plano
;
(b) Determine a equação do plano que passa por
Dada a equação
. Identifique o tipo da cônica que a equação representa, em seguida determine sua equação reduzida, centro, focos, vértices e excentricidade.
Seria o corpo
um espaço vetorial sob re o
? E o corpo
é um espaço vetorial sobre
?