Considere a quádrica S: x^2+y^2-z-4 x-6 y+13=0 e o plano pi: z=4.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica S e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma quádrica representada pela equação e um plano dado por . A pergunta (a) quer que a gente encontre a equação reduzida da quádrica e identifique que tipo de superfície ela representa.
Para isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e para transformar a equação em uma forma mais simples e reconhecível.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da quádrica agrupando os termos de x^2 - 4x + y^2 - 6y - z + 13 = 0 e . Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4 e y^2 - 6y = (y^2 - 6y + 9) - 9 = (y - 3)^2 - 9 . Isso ajuda a transformar a equação em uma forma padrão.
Para o termo de :
Para o termo de :

Passo 4

Substituindo esses resultados na equação original, temos:
(x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 - z + 13 = 0
Vamos simplificar os termos constantes:
-4 - 9 + 13 = 0
Então, a equação fica:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 - z = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar z = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 para deixar a equação mais clara:

Passo 6

Essa é a equação reduzida da quádrica z = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 :

Passo 7

Para identificar o tipo de superfície que essa equação representa, observamos que é expresso como a soma de quadrados de e . Isso caracteriza um paraboloide circular. Mais especificamente, como os coeficientes de e são iguais e positivos, trata-se de um paraboloide circular de concavidade para cima.

Resposta

A equação reduzida da quádrica é e ela é um paraboloide circular de concavidade para cima.

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