Dada a equação 4 x^2+y^2-32 x+48=0. Identifique o tipo da cônica que a equação representa, em seguida determine sua equação reduzida, centro, focos, vértices e excentricidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de cônica juntos! A gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de cônica ela representa e depois encontrar a equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e a excentricidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de identificação e manipulação de equações de cônicas, como completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos colocar os termos de 4x^2 - 32x + y^2 + 48 = 0 juntos e os termos de 4x^2 - 32x + y^2 = -48 juntos:
Agora, vamos mover o 48 para o outro lado da igualdade:

Passo 3

Agora, para completar o quadrado nos termos de 4(x^2 - 8x) + y^2 = -48, precisamos fatorar o coeficiente de (-82)^2 = 16 , que é 4:
4(x^2 - 8x + 16 - 16) + y^2 = -48
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de 4((x - 4)^2 - 16) + y^2 = -48, que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 4

Agora, distribuímos o 4:
4(x - 4)^2 - 64 + y^2 = -48
Em seguida, somamos 64 em ambos os lados para isolar os termos quadráticos:
4(x - 4)^2 + y^2 = 16

Passo 5

Para tornar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 16:
4(x - 4)^216 + y^216 = 1
Isso simplifica para:
(x - 4)^24 + y^216 = 1

Passo 6

Agora, podemos identificar o tipo de cônica. A equação está na forma:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Isso corresponde a uma elipse, onde e .

Passo 7

Vamos encontrar o centro da elipse. Pela forma padrão, o centro é .

Passo 8

Para encontrar os vértices, já que , a elipse está alongada no eixo . Os vértices estão a uma distância de do centro. Então:
Vértices: ou e

Passo 9

Agora, vamos encontrar os focos. A distância dos focos ao centro é dada por .
Então, os focos estão em:
ou e

Passo 10

Por último, a excentricidade da elipse é dada por .

Resposta

A equação representa uma elipse com centro em , vértices em e , focos em e , e excentricidade igual a .

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