Dada a equação
. Identifique o tipo da cônica que a equação representa, em seguida determine sua equação reduzida, centro, focos, vértices e excentricidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de cônica juntos! A gente tem a equação
. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de cônica ela representa e depois encontrar a equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e a excentricidade. Para isso, vamos precisar usar conceitos de identificação e manipulação de equações de cônicas, como completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos colocar os termos de
juntos e os termos de
juntos:
Agora, vamos mover o 48 para o outro lado da igualdade:
Passo 3
Agora, para completar o quadrado nos termos de
, precisamos fatorar o coeficiente de
, que é 4:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 4
Agora, distribuímos o 4:
Em seguida, somamos 64 em ambos os lados para isolar os termos quadráticos:
Passo 5
Para tornar a equação na forma padrão, dividimos todos os termos por 16:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, podemos identificar o tipo de cônica. A equação está na forma:
Isso corresponde a uma elipse, onde
e
.
Passo 7
Vamos encontrar o centro da elipse. Pela forma padrão, o centro
é
.
Passo 8
Para encontrar os vértices, já que
, a elipse está alongada no eixo
. Os vértices estão a uma distância de
do centro. Então:
Vértices:
ou
e
Passo 9
Agora, vamos encontrar os focos. A distância dos focos ao centro é dada por
.
Então, os focos estão em:
Passo 10
Por último, a excentricidade
da elipse é dada por
.
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro em
, vértices em
e
, focos em
e
, e excentricidade igual a
.
Exercícios relacionados
Considere a quádrica
e o plano
.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica e identifique-a.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica
Considere a quádrica
e o plano
.
b) Determine a interseção de com
.
b) Determine a interseção de
Seria o corpo
um espaço vetorial sob re o
? E o corpo
é um espaço vetorial sobre
?
Mostre
é um subespaço vetorial do
.