Seria o corpo Q um espaço vetorial sob re o R ? E o corpo R é um espaço vetorial sobre Q ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber se o conjunto dos números racionais, Q, pode ser considerado um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais, R, e vice-versa. Para isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e quais são os requisitos para que um conjunto seja considerado como tal sobre um campo.

Passo 2

Um espaço vetorial (ou espaço linear) sobre um campo K é um conjunto V equipado com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalares de K, que satisfazem certas propriedades (como associatividade, comutatividade da adição, existência de elemento neutro, etc.). Os campos envolvidos na definição são essenciais porque a multiplicação por escalares depende deles.

Passo 3

Vamos primeiro analisar se Q é um espaço vetorial sobre R. Aqui, o campo de escalares seria R e o conjunto de vetores seria Q. Uma condição fundamental para que Q seja um espaço vetorial sobre R é que, para todo número real r e todo número racional q, o produto r cdot q deve ser um número racional.

Passo 4

No entanto, isso não é sempre verdade. Por exemplo, se tomarmos r = raiz2 (um número real irracional) e q = 1, o produto r cdot q = raiz2, que não é racional. Portanto, a multiplicação por escalares de R em Q nem sempre resulta em um número racional, o que viola uma das condições necessárias para Q ser um espaço vetorial sobre R.

Passo 5

Agora, vamos verificar se R é um espaço vetorial sobre Q. Neste caso, o campo de escalares seria Q e o conjunto de vetores seria R. Precisamos verificar se todas as propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas.

Passo 6

Uma propriedade importante é que a multiplicação por escalares deve ser fechada no conjunto de vetores. Ou seja, para todo q in Q e todo r in R, o produto q cdot r deve estar em R. Isso é verdade, pois a multiplicação de um número racional por um número real é sempre um número real.

Passo 7

Além disso, todas as outras propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas quando consideramos R sobre Q. Portanto, R satisfaz todas as condições para ser um espaço vetorial sobre o campo Q.

Resposta

Não, Q não é um espaço vetorial sobre R. Por outro lado, R é um espaço vetorial sobre Q.

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