Seria o corpo
um espaço vetorial sob re o
? E o corpo
é um espaço vetorial sobre
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está perguntando. Queremos saber se o conjunto dos números racionais,
, pode ser considerado um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais,
, e vice-versa. Para isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e quais são os requisitos para que um conjunto seja considerado como tal sobre um campo.
Passo 2
Um espaço vetorial (ou espaço linear) sobre um campo
é um conjunto
equipado com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalares de
, que satisfazem certas propriedades (como associatividade, comutatividade da adição, existência de elemento neutro, etc.). Os campos envolvidos na definição são essenciais porque a multiplicação por escalares depende deles.
Passo 3
Vamos primeiro analisar se
é um espaço vetorial sobre
. Aqui, o campo de escalares seria
e o conjunto de vetores seria
. Uma condição fundamental para que
seja um espaço vetorial sobre
é que, para todo número real
e todo número racional
, o produto
deve ser um número racional.
Passo 4
No entanto, isso não é sempre verdade. Por exemplo, se tomarmos
(um número real irracional) e
, o produto
, que não é racional. Portanto, a multiplicação por escalares de
em
nem sempre resulta em um número racional, o que viola uma das condições necessárias para
ser um espaço vetorial sobre
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é um espaço vetorial sobre
. Neste caso, o campo de escalares seria
e o conjunto de vetores seria
. Precisamos verificar se todas as propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas.
Passo 6
Uma propriedade importante é que a multiplicação por escalares deve ser fechada no conjunto de vetores. Ou seja, para todo
e todo
, o produto
deve estar em
. Isso é verdade, pois a multiplicação de um número racional por um número real é sempre um número real.
Passo 7
Além disso, todas as outras propriedades dos espaços vetoriais são satisfeitas quando consideramos
sobre
. Portanto,
satisfaz todas as condições para ser um espaço vetorial sobre o campo
.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial sobre
. Por outro lado,
é um espaço vetorial sobre
.
Exercícios relacionados
Dada a equação
. Identifique o tipo da cônica que a equação representa, em seguida determine sua equação reduzida, centro, focos, vértices e excentricidade.
Considere a quádrica
e o plano
.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica e identifique-a.
a) Encontre a equação reduzida da quádrica
Mostre
é um subespaço vetorial do
.
Seria
um subespaço vetorial do
? Por quê?