Considere o R^3 com o produto interno usual. Sejam u=(2,2,2) e v=(3,3,1).
Determine dois vetores v1 e v2 tais que v=v1+v2 ; v1 perp u e v2=lambda u(lambda in R).

Passo 1

Vamos lá! Este exercício está no contexto do produto interno em . O objetivo é decompor o vetor em dois vetores e , onde é perpendicular a e é um múltiplo escalar de , ou seja, , com . Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos v1 cdot u = 0 , onde v = v1 + lambda u é perpendicular a . Isso significa que o produto interno de com deve ser zero:
Como , podemos reescrever como:

Passo 3

Para encontrar v cdot u = v1 cdot u + lambda u cdot u , vamos fazer o produto interno de ambos os lados da equação com v cdot u = lambda u cdot u :
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos calcular v cdot u = 3 times 2 + 3 times 2 + 1 times 2 = 6 + 6 + 2 = 14 e u cdot u = 2 times 2 + 2 times 2 + 2 times 2 = 4 + 4 + 4 = 12 :

Passo 5

Agora, substituindo na equação 14 = lambda times 12 :
lambda = 1412 = 76
Resolvendo para :

Passo 6

Com v2 = lambda u = 76 times (2,2,2) = (146, 146, 146) = (73, 73, 73) encontrado, podemos determinar :

Passo 7

Agora, para encontrar v1 = v - v2 = (3,3,1) - (73, 73, 73) , usamos v1 = (3 - 73, 3 - 73, 1 - 73) = (93 - 73, 93 - 73, 33 - 73) = (23, 23, -43) :
Calculando cada componente:

Resposta

Os vetores procurados são:
v1 = (23, 23, -43)
v2 = (73, 73, 73)

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