(g) ( ) Se A^100 é inversível, então 3 A também o é.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz: “Se é inversível, então também o é.” Estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com matrizes inversíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e como isso se relaciona com potenciação e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, a questão nos diz que A^100 cdot (A^100)^-1 = I é inversível. Isso implica que tem uma matriz inversa, digamos . Sabemos que se uma potência de uma matriz é inversível, então a matriz original também é inversível. Isso porque:
portanto, deve ser inversível.

Passo 4

Como (kA)^-1 = 1k A^-1 é inversível, queremos mostrar que também é inversível. Sabemos que se multiplicarmos uma matriz inversível por um escalar não nulo, o resultado também é inversível. A fórmula para a inversa de (onde é um escalar) é:

Passo 5

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde (3A)^-1 = 13 A^-1 , temos:
Isso mostra que tem uma inversa, já que é um número real e existe.

Resposta

Portanto, se é inversível, então também é inversível.

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