(g) ( ) Se
é inversível, então
também o é.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz: “Se
é inversível, então
também o é.” Estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com matrizes inversíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e como isso se relaciona com potenciação e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, a questão nos diz que
é inversível. Isso implica que
tem uma matriz inversa, digamos
. Sabemos que se uma potência de uma matriz é inversível, então a matriz original
também é inversível. Isso porque:
portanto,
deve ser inversível.
Passo 4
Como
é inversível, queremos mostrar que
também é inversível. Sabemos que se multiplicarmos uma matriz inversível por um escalar não nulo, o resultado também é inversível. A fórmula para a inversa de
(onde
é um escalar) é:
Passo 5
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde
, temos:
Isso mostra que
tem uma inversa, já que
é um número real e
existe.
Resposta
Portanto, se
é inversível, então
também é inversível.