Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
Observação: Guarde os cálculos desta questão pois serão usados em outros itens desta lista.
  1. T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(2 y, x).
  2. T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(x+y, 2 x+y).
  3. T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z).
  4. T: P2 P2 tal que T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b.
  5. T: M2 M2 tal que T(A)=A^t.
  6. T: R^4 R^4 tal que T(x, y, z, w)=(x, x+y, x+y+z, x+y+z+w).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício. A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente relacionados a matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = a & b c & d como uma matriz. Isso facilita muito o cálculo dos autovalores e autovetores. Sabemos que uma transformação linear de A = 0 & 2 1 & 0 para pode ser representada por uma matriz 2x2, onde:
Então, para , podemos identificar os valores de e :

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = 0 - lambda & 2 1 & 0 - lambda = -lambda & 2 1 & -lambda
Onde det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (2)(1) = lambda^2 - 2 é a matriz identidade e representa os autovalores. Calculando:
Então, o determinante é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
lambda^2 - 2 = 0 implies lambda^2 = 2 implies lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - lambda1 I = -raiz2 & 2 1 & -raiz2 , resolvemos -raiz2x + 2y = 0 x - raiz2y = 0 , onde x = raiz2y é o autovetor.
Primeiro, para raiz2 1 :
A - lambda2 I = raiz2 & 2 1 & raiz2
Resolvendo o sistema:
raiz2x + 2y = 0 x + raiz2y = 0
Podemos expressar x = -raiz2y em termos de -raiz2 1 :
Então, um autovetor correspondente pode ser .
Agora, para :
Resolvendo o sistema:
Expressando em termos de :
Então, um autovetor correspondente pode ser .

Resposta

Os autovalores da transformação são raiz2 1 e -raiz2 1 , com seus respectivos autovetores sendo e .

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