Ache os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
Observação: Guarde os cálculos desta questão pois serão usados em outros itens desta lista.
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tal que
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tal que
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tal que
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tal que
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tal que
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tal que
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Observação: Guarde os cálculos desta questão pois serão usados em outros itens desta lista.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício. A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear
definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente relacionados a matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. Isso facilita muito o cálculo dos autovalores e autovetores. Sabemos que uma transformação linear de
para
pode ser representada por uma matriz
2x2, onde:
Então, para
, podemos identificar os valores de
e
:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de
, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando:
Então, o determinante é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Primeiro, para
:
Resolvendo o sistema:
Podemos expressar
em termos de
:
Então, um autovetor correspondente pode ser
.
Agora, para
:
Resolvendo o sistema:
Expressando
em termos de
:
Então, um autovetor correspondente pode ser
.
Resposta
Os autovalores da transformação são
e
, com seus respectivos autovetores sendo
e
.