Considere um reservatório na forma de um cilindro circular reto. Determine o erro na medição de seu volume, causado pelo erro de na medição do raio , de 0,002m na medição da altura , quando e . Compare os resultados obtidos por: Cálculo do Incremento

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um reservatório que tem a forma de um cilindro circular reto. A gente precisa descobrir qual é o erro na medição do volume desse cilindro, que vem de erros nas medidas do raio e da altura. Especificamente, temos um erro de no raio ( ) e um erro de na altura ( ). Vamos usar conceitos de cálculo de incrementos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o volume de um cilindro. É bem simples:
Aqui, é o volume, é o raio da base, e é a altura do cilindro.

Passo 3

Agora, para encontrar o erro no volume causado pelos erros nas medidas do raio e da altura, vamos usar o cálculo de incrementos. A ideia é ver como pequenas variações em e afetam o volume .
Matematicamente, o incremento no volume ( ) pode ser aproximado por:
Onde:
  • é a derivada parcial de em relação a .
  • é a derivada parcial de em relação a .
  • é o erro no raio.
  • é o erro na altura.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Calculando cada parte:

Passo 5

Agora, somamos esses incrementos para encontrar o erro total no volume:
Calculando numericamente:

Resposta

O erro na medição do volume do reservatório é aproximadamente .

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