Considere um reservatório na forma de um cilindro circular reto. Determine o erro na medição de seu volume, causado pelo erro de
na medição do raio
, de 0,002m na medição da altura
, quando
e
. Compare os resultados obtidos por: Cálculo do Incremento
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um reservatório que tem a forma de um cilindro circular reto. A gente precisa descobrir qual é o erro na medição do volume desse cilindro, que vem de erros nas medidas do raio e da altura. Especificamente, temos um erro de
no raio (
) e um erro de
na altura (
). Vamos usar conceitos de cálculo de incrementos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o volume de um cilindro. É bem simples:
Aqui,
é o volume,
é o raio da base, e
é a altura do cilindro.
Passo 3
Agora, para encontrar o erro no volume causado pelos erros nas medidas do raio e da altura, vamos usar o cálculo de incrementos. A ideia é ver como pequenas variações em
e
afetam o volume
.
Matematicamente, o incremento no volume (
) pode ser aproximado por:
Onde:
-
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a . -
é o erro no raio. -
é o erro na altura.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Calculando cada parte:
Passo 5
Agora, somamos esses incrementos para encontrar o erro total no volume:
Calculando numericamente:
Resposta
O erro na medição do volume do reservatório é aproximadamente
.
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Represente os intervalos dados na reta real.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
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