Considere a reta r: 2 x+y=5. Determine a reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto A=(3,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a reta e precisa encontrar a reta que é perpendicular a e passa pelo ponto . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre inclinação de retas e condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta y = -2x + 5 . Para isso, precisamos colocar a equação de na forma , onde é a inclinação.
Dada a equação , resolvemos para :
Então, a inclinação de é .

Passo 3

Agora, como queremos que a reta mr times ms = -1 seja perpendicular a -2 times ms = -1 ms = 12 , precisamos achar a inclinação de . Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for :
Substituindo :
Então, a inclinação de é .

Passo 4

Agora que temos a inclinação de y - y1 = m(x - x1) e sabemos que ela passa pelo ponto y - 3 = 12(x - 3) , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo , e :
Vamos simplificar essa equação para a forma padrão.

Passo 5

Distribuindo o y - 3 = 12x - 32 :
y = 12x - 32 + 3 y = 12x + 32
Agora, adicionamos 3 em ambos os lados:
Então, a equação da reta é .

Resposta

A reta y = 12x + 32 que é perpendicular a e passa pelo ponto é:

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