Mostrar por meio de declividades, que os pontos A=(9,2), B=(11,6), C=(3,5) e D=(1,1) são vértices de um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para mostrar que os pontos , , e são vértices de um paralelogramo. Para isso, vamos usar o conceito de declividade, que na geometria é a inclinação das retas que ligam os pontos. A ideia é mostrar que os lados opostos têm a mesma inclinação, ou seja, são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a declividade (inclinação) da reta que une os pontos m = y2 - y1x2 - x1 e mAB = 6 - 211 - 9 = 42 = 2 . A fórmula para a declividade entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a declividade da reta que une os pontos mCD = 1 - 51 - 3 = -4-2 = 2 e :
Vimos que , o que significa que os lados e são paralelos.

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para os outros lados. Primeiro, a declividade da reta que liga mAD = 1 - 21 - 9 = -1-8 = 18 e :

Passo 5

E agora a declividade da reta que liga mBC = 5 - 63 - 11 = -1-8 = 18 e :
Aqui também, , mostrando que os lados e são paralelos.

Passo 6

Como mostramos que os lados opostos e são paralelos, e que e também são paralelos, concluímos que os quatro pontos formam um paralelogramo, já que um paralelogramo tem lados opostos paralelos.

Resposta

Portanto, os pontos , , e são vértices de um paralelogramo.

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