Suponha que a curva y=a x^2+b x+c passa pelos três distintos pontos (x1, y1),(x2, y2) e (x3, y3). Mostre que os coeficientes a, b e c são uma solução do sistema de equações lineares cuja matriz ampliada é [lll|lx1^2 & x1 & 1 & y1 x2^2 & x2 & 1 & y2 x3^2 & x3 & 1 & y3].
Use determinantes para concluir que os coeficientes a, b, c existem e são únicos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os coeficientes , e da parábola que passa por três pontos distintos , e são solução de um sistema de equações lineares representado por uma matriz ampliada. Além disso, precisamos usar determinantes para concluir que esses coeficientes existem e são únicos. Para resolver isso, vamos utilizar álgebra linear e o conceito de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada ponto yi = a xi^2 + b xi + c para i = 1, 2, 3 (onde ) está na curva . Isso significa que substituindo na equação da parábola, obtemos . Vamos escrever isso matematicamente:

Passo 3

Agora, temos três equações:
y1 = a x1^2 + b x1 + c y2 = a x2^2 + b x2 + c y3 = a x3^2 + b x3 + c
Essas equações formam um sistema linear com três incógnitas: , , e .

Passo 4

Vamos escrever esse sistema na forma de matriz aumentada. A matriz dos coeficientes (sem a coluna dos resultados x1^2 & x1 & 1 x2^2 & x2 & 1 x3^2 & x3 & 1 ) é:
[ccc|c x1^2 & x1 & 1 & y1 x2^2 & x2 & 1 & y2 x3^2 & x3 & 1 & y3 ]
E a matriz aumentada, que inclui a coluna dos resultados , fica:
Isso mostra que os coeficientes , , e são uma solução desse sistema de equações lineares.

Passo 5

Para garantir que essa solução existe e é única, precisamos verificar se a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero. O determinante da matriz dos coeficientes é:
D = x1^2 & x1 & 1 x2^2 & x2 & 1 x3^2 & x3 & 1
Calculando esse determinante, vemos que ele é diferente de zero se , , e são distintos, o que é garantido pelo enunciado.

Passo 6

Como o determinante , pelo teorema de Cramér, o sistema de equações tem uma única solução para , , e . Isso significa que os coeficientes existe e são únicos.

Resposta

Portanto, os coeficientes , e são uma solução única do sistema de equações lineares representado pela matriz ampliada dada, garantindo que a parábola passa exatamente pelos três pontos distintos fornecidos.

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