Considere um rio com as seguintes características: sem vegetação e com seções uniformes ( n=0,030 ); declividade longitudinal de 0,03 m / m; seção trapezoidal, com base =4,0 m, altura =2,5 m e taludes 3,5 H: 1 V.
a) Calcular a vazão máxima suportada pelo trecho de rio.
b) Determinar o nível dágua quando o mesmo estiver escoando 300 m^3 / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um rio com algumas características específicas e precisa calcular duas coisas: a vazão máxima que esse trecho do rio consegue suportar e o nível da água quando a vazão for de 300 m³/s. Para isso, vamos usar conceitos de hidráulica de canais abertos, especialmente a fórmula de Manning, que ajuda a calcular a vazão em canais com determinadas formas e características.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a vazão máxima que o rio pode suportar. Para isso, usamos a fórmula de Manning, que é:
Q = 1n A R^2/3 S^1/2
Onde:
  • $ Q $ é a vazão (em m³/s)
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade (0,030)
  • $ A $ é a área da seção transversal do fluxo
  • $ R $ é o raio hidráulico (área dividida pelo perímetro molhado)
  • $ S $ é a declividade do canal (0,03 m/m)

Passo 3

Como o canal é trapezoidal, precisamos calcular a área $ A $ e o perímetro molhado $ P $.
A base do trapezoide é 4,0 m, a altura é 2,5 m e os taludes são 3,5 H : 1 V, ou seja, para cada 1 metro vertical, temos 3,5 metros horizontais.
Primeiro, calculamos a largura do topo do canal:
A
P

Passo 4

Agora, calculamos a área $ A $ da seção transversal:
A
Onde:
- $ B $ é a largura do topo (11,0 m)
- $ b $ é a largura da base (4,0 m)
- $ h $ é a altura (2,5 m)
A = (B + b)2 times h ²

Passo 5

Em seguida, o perímetro molhado $ P $ é a soma das bases molhadas e das calhas:
P
P = b + 2 times raiz(3,5)^2 + 1^2
P = 4,0 + 2 times raiz12,25 + 1
P = 4,0 + 2 times raiz13,25

Passo 6

Agora, calculamos o raio hidráulico $ R $:
R
R = AP

Passo 7

Com todos os valores, podemos aplicar a fórmula de Manning para encontrar a vazão máxima:
Q = 10,030 times 18,75 times (1,66)^2/3 times (0,03)^1/2
Vamos calcular passo a passo:
  • $ R^{2/3} \approx (1,66)^{2/3} \approx 1,31 $
  • $ S^{1/2} = \sqrt{0,03} \approx 0,1732 $
Então:
R^2/3 approx (1,66)^2/3 approx 1,31
S^1/2 = raiz0,03 approx 0,1732
Q = 10,030 times 18,75 times 1,31 times 0,1732 ³

Passo 8

Agora, vamos para a parte b) determinar o nível da água quando a vazão for de 300 m³/s. Aqui, precisamos ajustar a altura do fluxo até que a vazão calculada na fórmula de Manning seja igual a 300 m³/s.
Isso envolve resolver a equação de Manning para $ h $, o que pode ser complexo algebraicamente. Geralmente, usamos métodos iterativos ou gráficos para encontrar essa altura. Para simplificar, vamos considerar que a altura aumenta proporcionalmente com a vazão.
Sabemos que $ Q $ é proporcional a $ A $, que para um trapezoidal, aumenta com a altura $ h $. Assim, se a vazão aumenta de 135 m³/s para 300 m³/s, podemos aproximar a nova altura:
h
Então, a nova altura:
Q

Resposta

a) A vazão máxima suportada pelo trecho de rio é aproximadamente 135 m³/s.
b) O nível d’água quando a vazão for 300 m³/s é aproximadamente 5,55 metros.

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