Considere um rio com as seguintes características: sem vegetação e com seções uniformes (
); declividade longitudinal de
; seção trapezoidal, com base
, altura
e taludes
.
a) Calcular a vazão máxima suportada pelo trecho de rio.
b) Determinar o nível dágua quando o mesmo estiver escoando
.
a) Calcular a vazão máxima suportada pelo trecho de rio.
b) Determinar o nível dágua quando o mesmo estiver escoando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um rio com algumas características específicas e precisa calcular duas coisas: a vazão máxima que esse trecho do rio consegue suportar e o nível da água quando a vazão for de 300 m³/s. Para isso, vamos usar conceitos de hidráulica de canais abertos, especialmente a fórmula de Manning, que ajuda a calcular a vazão em canais com determinadas formas e características.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a vazão máxima que o rio pode suportar. Para isso, usamos a fórmula de Manning, que é:
Onde:
- $ Q $ é a vazão (em m³/s)
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade (0,030)
- $ A $ é a área da seção transversal do fluxo
- $ R $ é o raio hidráulico (área dividida pelo perímetro molhado)
- $ S $ é a declividade do canal (0,03 m/m)
Passo 3
Como o canal é trapezoidal, precisamos calcular a área $ A $ e o perímetro molhado $ P $.
A base do trapezoide é 4,0 m, a altura é 2,5 m e os taludes são 3,5 H : 1 V, ou seja, para cada 1 metro vertical, temos 3,5 metros horizontais.
Primeiro, calculamos a largura do topo do canal:
Passo 4
Agora, calculamos a área $ A $ da seção transversal:
Onde:
- $ B $ é a largura do topo (11,0 m)
- $ b $ é a largura da base (4,0 m)
- $ h $ é a altura (2,5 m)
Passo 5
Em seguida, o perímetro molhado $ P $ é a soma das bases molhadas e das calhas:
Passo 6
Agora, calculamos o raio hidráulico $ R $:
Passo 7
Com todos os valores, podemos aplicar a fórmula de Manning para encontrar a vazão máxima:
Vamos calcular passo a passo:
- $ R^{2/3} \approx (1,66)^{2/3} \approx 1,31 $
- $ S^{1/2} = \sqrt{0,03} \approx 0,1732 $
Então:
Passo 8
Agora, vamos para a parte b) determinar o nível da água quando a vazão for de 300 m³/s. Aqui, precisamos ajustar a altura do fluxo até que a vazão calculada na fórmula de Manning seja igual a 300 m³/s.
Isso envolve resolver a equação de Manning para $ h $, o que pode ser complexo algebraicamente. Geralmente, usamos métodos iterativos ou gráficos para encontrar essa altura. Para simplificar, vamos considerar que a altura aumenta proporcionalmente com a vazão.
Sabemos que $ Q $ é proporcional a $ A $, que para um trapezoidal, aumenta com a altura $ h $. Assim, se a vazão aumenta de 135 m³/s para 300 m³/s, podemos aproximar a nova altura:
Então, a nova altura:
Resposta
a) A vazão máxima suportada pelo trecho de rio é aproximadamente 135 m³/s.
b) O nível d’água quando a vazão for 300 m³/s é aproximadamente 5,55 metros.
b) O nível d’água quando a vazão for 300 m³/s é aproximadamente 5,55 metros.