A água escoa de um reservatório através de um tubo horizontal de ferro fundido (
) de 100 mm , localizado no fundo, e que descarrega em outro reservatório cujo nivel de água é 5 m acima do plano de referência. O tubo tem 200 metros de extensão, contém duas curvas de raio longo (
e uma válvula de gaveta aberta
, além da entrada
e saida (
) do tubo. Calcular a vazấ quando o reservatório de montante estiver cheio, com nivel de agua 20 metros acima do plano de referência. Obs: os valores de
são unitários, ou seja, referentes a uma peça. ( 2,0 pontos)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um reservatório de água que escoa através de um tubo horizontal de ferro fundido com certas características, e esse tubo descarrega em outro reservatório com um nível de água diferente. Nosso objetivo é calcular a vazão ($ Q $) quando o reservatório de montante está cheio, ou seja, com o nível de água a 20 metros acima do plano de referência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de hidráulica, especificamente a fórmula de Chezy para vazão em tubos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
- Coeficiente de Chezy ($ C
^{0.367}$/s - Diâmetro do tubo ($ D $) = 100 mm = 0,1 m
- Comprimento do tubo ($ L $) = 200 m
- Níveis de água:
- Reservatório de montante: 20 m acima do plano de referência
- Reservatório de jusante: 5 m acima do plano de referência
- Resistências adicionais:
- Duas curvas de raio longo: $ L_{oq} = 1,9 $ m cada
- Válvula de gaveta aberta: $ L_{oq} = 1,1 $ m
- Entrada: $ L_{eq} = 2,5 $ m
- Saída: $ L_{oq} = 5,0 $ m
Passo 3
Calcularemos a perda de carga total ($ h_f $) no sistema, que inclui a perda por atrito no tubo e pelas resistências adicionais (curvas, válvula, entrada e saída). A fórmula geral para perda de carga é:
Onde:
- $ L $ é o comprimento do tubo
- $ D $ é o diâmetro do tubo
- $ V $ é a velocidade da água
- $ g $ é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²)
- $ K $ são os coeficientes de perda associados às resistências (curvas, válvula, etc.)
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a perda de carga devido ao atrito no tubo usando a fórmula de Chezy:
No entanto, como estamos usando a fórmula de Chezy diretamente para vazão, podemos rearranjar a fórmula para encontrar $ Q $:
Onde:
- $ A $ é a área da seção transversal do tubo ($ A = \frac{\pi D^2}{4} $)
- $ R $ é o comprimento do tubo
- $ S $ é o declive hidráulico, que pode ser calculado pela diferença de nível entre os reservatórios dividido pelo comprimento total
Passo 5
Calculando a área da seção transversal ($ A $):
Passo 6
Agora, somamos os comprimentos das resistências adicionais:
Portanto, o comprimento total efetivo do tubo é:
Passo 7
Calculamos o declive hidráulico ($ S $):
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula de Chezy para calcular a vazão ($ Q $):
Assumindo que $ R $ é proporcional a $ L_{efetivo} $, simplificamos para:
Substituindo os valores:
Resposta
A vazão é aproximadamente $ 0,23 , m³/s $.