Uma tubulação de aço galvanizado (e=0,15 mm) de 20 cm de diâmetro e 1,5 km de extensẫ é usada para transportar água a aproximadamente 20^circ C(0=1,0 times 10^-6 m / s). Qual será a vazão máxima se for permitida uma perda de carga de 8,6 m na tubulaçăo? Desprezar as perdas de carga localizadas. (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tubulação de aço galvanizado com diâmetro de 20 cm e 1,5 km de comprimento. Essa tubulação está transportando água a 20°C, e queremos descobrir qual é a vazão máxima permitida se a perda de carga (a perda de energia da água ao passar pela tubulação) for de até 8,6 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga em tubulações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga ( hf) com a velocidade do fluido ( v):
hf = f ( Ld ) ( v^22g )
Onde:
  • hf é a perda de carga (8,6 m)
  • f é o fator de atrito
  • L é o comprimento da tubulação (1.500 m)
  • d é o diâmetro da tubulação (0,2 m)
  • v é a velocidade da água
  • g é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
Nosso objetivo é encontrar a velocidade v. Mas, para isso, precisamos saber o fator de atrito f, que depende do regime de escoamento e da rugosidade da tubulação.

Passo 3

Para determinar o fator de atrito f, precisamos primeiro calcular o número de Reynolds ( Re) para saber se o escoamento é laminar ou turbulento. O número de Reynolds é dado por:
Re = v cdot dnu
Onde nu é a viscosidade cinemática da água (1,0 × 10⁻⁶ m²/s).
Como ainda não sabemos v, vamos rearranjar a equação de Darcy-Weisbach para expressar v em termos de Re.

Passo 4

Rearranjando a equação de perda de carga para resolver v:
v = raiz 2g hf df L
Mas também temos Re = v dnu, então podemos substituir v na equação de Reynolds:
Re = d cdot raiz 2g hf df L nu
Agora, temos uma relação que envolve Re e f. Para escoamentos turbulentos, o fator de atrito f pode ser estimado usando a fórmula de Colebrook:
1raizf = -2 log10 ( e3.7d + 2.51Re raizf )
Onde e é a rugosidade da tubulação (0,00015 m).
Essa equação é implícita em f, o que significa que geralmente precisamos resolvê-la iterativamente. Porém, para simplificar, podemos usar uma estimativa inicial e ajustar conforme necessário.

Passo 5

Vamos supor inicialmente que o escoamento é turbulento e usar uma aproximação para f. Uma estimativa inicial comum para escoamento turbulento é f approx 0,02. Vamos usar esse valor para calcular v.
Substituindo os valores na equação rearranjada:
v = raiz 2 times 9,81 times 8,6 times 0,20,02 times 1500

Passo 6

Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calcula o numerador:
2 times 9,81 times 8,6 times 0,2 = 33,8304
Agora, o denominador:
0,02 times 1500 = 30
Então:
v = raiz 33,830430 = raiz1,12768 approx 1,061 , m/s

Passo 7

Agora que temos a velocidade, podemos calcular a vazão volumétrica ( Q) usando a relação:
Q = v times A
Onde A é a área da seção transversal da tubulação:
A = pi ( d2 )^2 = pi ( 0,22 )^2 = pi (0,1)^2 = 0,031416 , m^2
Então:
Q = 1,061 times 0,031416 approx 0,03333 , m^3/s
Convertendo para litros por segundo (1 m³ = 1000 litros):
Q approx 33,33 , litros/s

Resposta

A vazão máxima permitida é de aproximadamente 33,33 litros por segundo.

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