Uma tubulação de aço galvanizado
de 20 cm de diâmetro
de extensẫ é usada para transportar água a aproximadamente
. Qual será a vazão máxima se for permitida uma perda de carga de
na tubulaçăo? Desprezar as perdas de carga localizadas. (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tubulação de aço galvanizado com diâmetro de 20 cm e 1,5 km de comprimento. Essa tubulação está transportando água a 20°C, e queremos descobrir qual é a vazão máxima permitida se a perda de carga (a perda de energia da água ao passar pela tubulação) for de até 8,6 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga em tubulações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Darcy-Weisbach, que relaciona a perda de carga (
) com a velocidade do fluido (
):
Onde:
-
é a perda de carga (8,6 m) -
é o fator de atrito -
é o comprimento da tubulação (1.500 m) -
é o diâmetro da tubulação (0,2 m) -
é a velocidade da água -
é a aceleração da gravidade (≈9,81 m/s²)
Nosso objetivo é encontrar a velocidade
. Mas, para isso, precisamos saber o fator de atrito
, que depende do regime de escoamento e da rugosidade da tubulação.
Passo 3
Para determinar o fator de atrito
, precisamos primeiro calcular o número de Reynolds (
) para saber se o escoamento é laminar ou turbulento. O número de Reynolds é dado por:
Onde
é a viscosidade cinemática da água (1,0 × 10⁻⁶ m²/s).
Como ainda não sabemos
, vamos rearranjar a equação de Darcy-Weisbach para expressar
em termos de
.
Passo 4
Rearranjando a equação de perda de carga para resolver
:
Mas também temos
, então podemos substituir
na equação de Reynolds:
Agora, temos uma relação que envolve
e
. Para escoamentos turbulentos, o fator de atrito
pode ser estimado usando a fórmula de Colebrook:
Onde
é a rugosidade da tubulação (0,00015 m).
Essa equação é implícita em
, o que significa que geralmente precisamos resolvê-la iterativamente. Porém, para simplificar, podemos usar uma estimativa inicial e ajustar conforme necessário.
Passo 5
Vamos supor inicialmente que o escoamento é turbulento e usar uma aproximação para
. Uma estimativa inicial comum para escoamento turbulento é
. Vamos usar esse valor para calcular
.
Substituindo os valores na equação rearranjada:
Passo 6
Vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calcula o numerador:
Agora, o denominador:
Então:
Passo 7
Agora que temos a velocidade, podemos calcular a vazão volumétrica (
) usando a relação:
Onde
é a área da seção transversal da tubulação:
Então:
Convertendo para litros por segundo (1 m³ = 1000 litros):
Resposta
A vazão máxima permitida é de aproximadamente 33,33 litros por segundo.