Considere o seguinte conjunto de dados. X 1 2 3 4 5 Y 4 7 4 8 9 Assinale a alternativa que contém o valor aproximado do coeficiente de determinação para essas variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o coeficiente de determinação, que é um conceito da estatística usado para medir o quanto uma variável explica a outra. No caso, temos dois conjuntos de dados: X (1, 2, 3, 4, 5) e Y (4, 7, 4, 8, 9). Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de determinação, que geralmente é representado por $ R^2 $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o coeficiente de determinação. Ele nos mostra a proporção da variabilidade na variável dependente (Y) que é explicada pela variável independente (X). Para calcular $ R^2 $, vamos precisar calcular a soma dos quadrados total (SST), a soma dos quadrados da regressão (SSR) e depois usar essas somas para encontrar $ R^2 $.

Passo 3

Vamos começar calculando a média de X e a média de Y. Isso vai nos ajudar a encontrar a linha de regressão.
barX = 1 + 2 + 3 + 4 + 55 = 155 = 3
barY = 4 + 7 + 4 + 8 + 95 = 325 = 6,4

Passo 4

Agora, vamos calcular os desvios de X e Y em relação às suas médias e multiplicar esses desvios para encontrar a covariância.
Cov(X,Y) = sum (Xi - barX)(Yi - barY)n
Calculando cada termo:
(1-3)(4-6,4) = (-2)(-2,4) = 4,8
(2-3)(7-6,4) = (-1)(0,6) = -0,6
(3-3)(4-6,4) = (0)(-2,4) = 0
(4-3)(8-6,4) = (1)(1,6) = 1,6
(5-3)(9-6,4) = (2)(2,6) = 5,2
Somando esses valores:
4,8 - 0,6 + 0 + 1,6 + 5,2 = 11
Então,
Cov(X,Y) = 115 = 2,2

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de X:
Var(X) = sum (Xi - barX)^2n
Calculando cada termo:
(1-3)^2 = 4
(2-3)^2 = 1
(3-3)^2 = 0
(4-3)^2 = 1
(5-3)^2 = 4
Somando esses valores:
4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
Então,
Var(X) = 105 = 2

Passo 6

Com a covariância e a variância de X, podemos encontrar o coeficiente angular (b1) da regressão linear:
b1 = Cov(X,Y)Var(X) = 2,22 = 1,1

Passo 7

Agora, vamos encontrar o intercepto (b0) da regressão linear usando as médias:
b0 = barY - b1 barX = 6,4 - 1,1 times 3 = 6,4 - 3,3 = 3,1

Passo 8

Com a equação da reta de regressão $ Y = b_0 + b_1 X $, podemos agora calcular os valores previstos de Y para cada X:
Y = b0 + b1 X
Calculando para cada X:
Yprevido = 3,1 + 1,1X

Passo 9

Agora, vamos calcular a soma dos quadrados da regressão (SSR) e a soma dos quadrados residuais (SSE):
SSR = sum (Yprevido - barY)^2
SSE = sum (Yi - Yprevido)^2
Calculando SSR:
(4,2 - 6,4)^2 = 4,84
(5,3 - 6,4)^2 = 1,21
(6,4 - 6,4)^2 = 0
(7,5 - 6,4)^2 = 1,21
(8,6 - 6,4)^2 = 4,84
Somando:
4,84 + 1,21 + 0 + 1,21 + 4,84 = 12,1
Calculando SSE:
(4 - 4,2)^2 = 0,04
(7 - 5,3)^2 = 2,89
(4 - 6,4)^2 = 5,76
(8 - 7,5)^2 = 0,25
(9 - 8,6)^2 = 0,16
Somando:
0,04 + 2,89 + 5,76 + 0,25 + 0,16 = 9,1

Passo 10

A soma total dos quadrados (SST) é a soma de SSR e SSE:
SST = SSR + SSE = 12,1 + 9,1 = 21,2

Passo 11

Finalmente, o coeficiente de determinação $ R^2 $ é dado por:
R^2

Resposta

O coeficiente de determinação aproximado para essas variáveis é de 57%.

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