Considere o seguinte conjunto de dados. X 1 2 3 4 5 Y 4 7 4 8 9 Assinale a alternativa que contém o valor aproximado do coeficiente de determinação para essas variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o coeficiente de determinação, que é um conceito da estatística usado para medir o quanto uma variável explica a outra. No caso, temos dois conjuntos de dados: X (1, 2, 3, 4, 5) e Y (4, 7, 4, 8, 9). Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de determinação, que geralmente é representado por $ R^2 $.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o coeficiente de determinação. Ele nos mostra a proporção da variabilidade na variável dependente (Y) que é explicada pela variável independente (X). Para calcular $ R^2 $, vamos precisar calcular a soma dos quadrados total (SST), a soma dos quadrados da regressão (SSR) e depois usar essas somas para encontrar $ R^2 $.
Passo 3
Vamos começar calculando a média de X e a média de Y. Isso vai nos ajudar a encontrar a linha de regressão.
Passo 4
Agora, vamos calcular os desvios de X e Y em relação às suas médias e multiplicar esses desvios para encontrar a covariância.
Calculando cada termo:
Somando esses valores:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância de X:
Calculando cada termo:
Somando esses valores:
Então,
Passo 6
Com a covariância e a variância de X, podemos encontrar o coeficiente angular (b1) da regressão linear:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o intercepto (b0) da regressão linear usando as médias:
Passo 8
Com a equação da reta de regressão $ Y = b_0 + b_1 X $, podemos agora calcular os valores previstos de Y para cada X:
Calculando para cada X:
Passo 9
Agora, vamos calcular a soma dos quadrados da regressão (SSR) e a soma dos quadrados residuais (SSE):
Calculando SSR:
Somando:
Calculando SSE:
Somando:
Passo 10
A soma total dos quadrados (SST) é a soma de SSR e SSE:
Passo 11
Finalmente, o coeficiente de determinação $ R^2 $ é dado por:
Resposta
O coeficiente de determinação aproximado para essas variáveis é de 57%.