Um designer criou pesos para papel usando cubos e esferas. Nas peças criadas, a esfera está inscrita no cubo que tem aresta medindo 6 cm. Para dar um efeito visual, ele colocou na parte interna do cubo, e externa à esfera, um líquido vermelho. Com 1 litro desse líquido o designer pode confeccionar, no máximo, quantas peças? [Use π = 3,14]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve geometria, especificamente o cálculo de volumes de formas tridimensionais. Aqui, a gente vai trabalhar com um cubo e uma esfera inscrita nele. Precisamos descobrir quantas dessas peças o designer pode fazer com 1 litro de líquido vermelho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma esfera estar inscrita em um cubo. Isso quer dizer que a esfera toca todas as faces do cubo exatamente no meio. Então, o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo.
No nosso caso, a aresta do cubo mede 6 cm. Assim, o diâmetro da esfera também é 6 cm, e o raio $ r $ da esfera é metade disso:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume do cubo. A fórmula para o volume $ V $ de um cubo é:
Substituindo:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o volume da esfera. A fórmula para o volume $ V $ de uma esfera é:
Substituindo $ r = 3 $ cm e $ \pi = 3,14 $:
Passo 5
Para achar o volume do líquido vermelho que fica entre a esfera e o cubo, subtraímos o volume da esfera do volume do cubo:
Passo 6
Sabemos que 1 litro equivale a 1000 cm³. Para descobrir quantas peças podemos fazer com esse volume de líquido, dividimos 1000 cm³ pelo volume de líquido necessário para cada peça:
Como não dá pra fazer uma fração de peça, arredondamos para baixo.
Resposta
Com 1 litro de líquido vermelho, o designer pode confeccionar, no máximo, 9 peças.